Nos problemas abaixo, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
4 y^{\prime \prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a solução geral da equação diferencial”
4y''+2y=0.
Informações dadas: a equação é linear, homogênea e de segunda ordem com coeficientes constantes. O que se pede é a solução geral y(x) que satisfaça essa equação para todo x.

Passo 2

Primeiro simplificamos a equação dividindo por 4 para deixá-la em forma padrão (coeficiente do y'' igual a 1):
y''+\frac{1}{2}y=0.
Explicação didática: dividir pelo coeficiente líder torna a equação mais simples de manipular, sem alterar o conjunto de soluções (desde que o coeficiente não seja zero, aqui é 4).

Passo 3

Agora escolhemos uma tentativa clássica: procurar soluções da forma exponencial
y(x)=e^{rx},
porque derivando essa função voltamos a ter expoenciais e isso transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para r. Substituindo y=e^{rx} em y''+\frac{1}{2}y=0 obtemos a equação característica:
r^2+\frac{1}{2}=0.
A ideia por trás disso: para y=e^{rx} temos y''=r^2 e^{rx}, então o fator e^{rx} pode ser cancelado (não é zero), sobrando uma condição para r.

Passo 4

Resolvemos a equação característica:
r^2=-\frac{1}{2}.
Tomando raiz quadrada:
r=\pm i\frac{1}{\sqrt{2}}.
Aqui i é a unidade imaginária ( i^2=-1). Interpretando: as raízes são complexas conjugadas puramente imaginárias, o que indica soluções oscilatórias (senos e cossenos).

Passo 5

Teoria importante (explicada passo a passo): quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas
r=\alpha\pm i\beta,
a forma geral das soluções reais é
y(x)=C_1 e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2 e^{\alpha x}\sin(\beta x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. No nosso caso \alpha=0 e \beta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, pois as raízes são \pm i/\sqrt{2}. Portanto a solução geral real é
y(x)=C_1\cos\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C_2\sin\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right),
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias (ajustáveis pelas condições iniciais, se houver).
Explicação intuitiva: as componentes \cos(\beta x) e \sin(\beta x) aparecem porque combinações lineares de e^{i\beta x} e e^{-i\beta x} (soluções exponenciais complexas) podem ser escritas como senos e cossenos reais usando a fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.

Passo 6

Verificação direta (bom hábito na prova): calculamos y'' a partir da solução proposta e substituímos na equação para confirmar que dá zero.
Primeiro derivadas:
y(x)=C_1\cos\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C_2\sin\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right),
y'(x)=-C_1\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C_2\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right),
y''(x)=-C_1\frac{1}{2}\cos\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)-C_2\frac{1}{2}\sin\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right).
Agora substituímos em 4y''+2y:
4y''+2y=4\left(-\frac{1}{2}C_1\cos\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)-\frac{1}{2}C_2\sin\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)+2\left(C_1\cos\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C_2\sin\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right).
Simplificando:
4y''+2y=-2C_1\cos\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)-2C_2\sin\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+2C_1\cos\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+2C_2\sin\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)=0.
Logo a solução está correta.

Passo 7

Observações finais e dicas de prova:
  • Sempre divida pelo coeficiente do y'' para simplificar, se for diferente de zero.
  • Use a substituição y=e^{rx} para equações com coeficientes constantes; resolve rápido.
  • Se as raízes forem complexas conjugadas \pm i\beta, memorize que a solução será combinação de \cos(\beta x) e \sin(\beta x).
  • As constantes C_1,C_2 serão determinadas por condições iniciais (valores de y e y' em um ponto), se houver.

Resposta

y(x)=C_1\cos\!\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)+C_2\sin\!\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)

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