Nos problemas abaixo, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre a solução geral da equação diferencial”
Informações dadas: a equação é linear, homogênea e de segunda ordem com coeficientes constantes. O que se pede é a solução geral
que satisfaça essa equação para todo
.
Passo 2
Primeiro simplificamos a equação dividindo por
para deixá-la em forma padrão (coeficiente do
igual a
):
Explicação didática: dividir pelo coeficiente líder torna a equação mais simples de manipular, sem alterar o conjunto de soluções (desde que o coeficiente não seja zero, aqui é
).
Passo 3
Agora escolhemos uma tentativa clássica: procurar soluções da forma exponencial
porque derivando essa função voltamos a ter expoenciais e isso transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para
. Substituindo
em
obtemos a equação característica:
A ideia por trás disso: para
temos
, então o fator
pode ser cancelado (não é zero), sobrando uma condição para
.
Passo 4
Resolvemos a equação característica:
Tomando raiz quadrada:
Aqui
é a unidade imaginária (
). Interpretando: as raízes são complexas conjugadas puramente imaginárias, o que indica soluções oscilatórias (senos e cossenos).
Passo 5
Teoria importante (explicada passo a passo): quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas
a forma geral das soluções reais é
onde
e
são constantes arbitrárias. No nosso caso
e
, pois as raízes são
. Portanto a solução geral real é
onde
e
são constantes reais arbitrárias (ajustáveis pelas condições iniciais, se houver).
Explicação intuitiva: as componentes
e
aparecem porque combinações lineares de
e
(soluções exponenciais complexas) podem ser escritas como senos e cossenos reais usando a fórmula de Euler
.
Passo 6
Verificação direta (bom hábito na prova): calculamos
a partir da solução proposta e substituímos na equação para confirmar que dá zero.
Primeiro derivadas:
Agora substituímos em
:
Simplificando:
Logo a solução está correta.
Passo 7
Observações finais e dicas de prova:
- Sempre divida pelo coeficiente do
para simplificar, se for diferente de zero. - Use a substituição
para equações com coeficientes constantes; resolve rápido. - Se as raízes forem complexas conjugadas
, memorize que a solução será combinação de e . - As constantes
serão determinadas por condições iniciais (valores de e em um ponto), se houver.