Questão 7. Condidere \hat{A} e \hat{B} tais que [\hat{A}, \hat{B}] \neq 0 . \hat{A} e \hat{B} podem ser medidos simultaneamente? Suponha que tenha se encontrado a ao se medir \hat{A}, e na sequência tenha se medido \hat{B}, encontrando b. Ao se medir \hat{B} a medida de \hat{A} continua sendo a ?
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas e dá uma informação importante. Perguntas:
As observáveis \hat{A} e \hat{B} podem ser medidas simultaneamente, dado que [\hat{A},\hat{B}]\neq 0?
Supondo que ao medir \hat{A} encontrou-se o valor a e, em seguida, mediu-se \hat{B} encontrando b. Após medir \hat{B}, a medida de \hat{A} continua sendo a?
Informações dadas e hipóteses que vou usar (tudo que vem do enunciado ou é padrão em mecânica quântica):
\hat{A} e \hat{B} são operadores Hermitianos (observáveis).
O comutador é não nulo: [\hat{A},\hat{B}]\neq 0.
Medidas são do tipo projetivo (colapso para autofunção associada ao valor medido).
Foi obtido a ao medir \hat{A}, depois b ao medir \hat{B}.
Nada mais é dado (por exemplo, não há figura). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
O que significa medir uma observável na linguagem de operadores? Vou explicar passo a passo porque isso é a base do raciocínio.
Um observável \hat{A} tem autovalores e autovetores:
\hat{A}\ket{a} = a\ket{a},
onde \ket{a} é um autovetor (ou autostado) associado ao autovalor a. Aqui \ket{\cdot} é notação de vetor de estado e a é um número real (porque \hat{A} é Hermitiano).
A regra de medição (postulado de Born + colapso) diz: se o estado do sistema antes da medida é \ket{\psi}, a probabilidade de obter o autovalor a ao medir \hat{A} é
P(a) = |\braket{a}{\psi}|^2,
e, imediatamente após obter a, o estado colapsa para \ket{a} (ou para o subespaço correspondente se houver degenerescência). Isto é crucial: medir altera o estado para um autovetor de \hat{A}.
Passo 3
O que significa [\hat{A},\hat{B}]\neq 0 e por que isso importa?
Se [\hat{A},\hat{B}]=0, então \hat{A} e \hat{B} podem ser diagonalizados simultaneamente (existe uma base comum de autovetores). Nessa situação dizemos que as observáveis são compatíveis: existe um conjunto de estados que são autovetores de ambas e, portanto, é possível medir ambas simultaneamente sem perturbação.
Se [\hat{A},\hat{B}]\neq 0, em geral não existe uma base comum de autovetores. Isso indica incompatibilidade: medir uma perturbará, em geral, o resultado da outra. Importante: “em geral” porque pode existir um estado particular que seja autovetor comum mesmo quando o comutador é globalmente não nulo; esse é um caso especial, não a regra.
Passo 4
Formalizando o processo de medidas sequenciais pedido no enunciado.
Começamos medindo \hat{A} e encontramos a. Pelo postulado, o estado após essa medida fica (assumindo não degenerescência)
\ket{\psi_{\text{após }A}} = \ket{a}.
Agora medimos \hat{B}. Seja \{\ket{b_j}\} a base de autovetores de \hat{B} com \hat{B}\ket{b_j}=b_j\ket{b_j}. A probabilidade de obter b_j ao medir \hat{B} partindo de \ket{a} é, pela regra de Born,
P(b_j\!\mid\!a) = |\braket{b_j}{a}|^2.
Se o resultado obtido é b (i.e. um b_j particular), então o estado colapsa para
\ket{\psi_{\text{após }B}} = \ket{b}.
Passo 5
Agora perguntamos: após ter obtido b medindo \hat{B}, se medirmos \hat{A} de novo, a medida continuará sendo a?
A probabilidade de obter a ao medir \hat{A} no estado \ket{b} é
P(a\!\mid\!b) = |\braket{a}{b}|^2.
Observe que |\braket{a}{b}|^2 nem sempre é 1. Na verdade, geralmente |\braket{a}{b}|^2<1. Portanto, depois de medir \hat{B} e obter b, a medida de \hat{A} não vai necessariamente dar a novamente: ela dará a com probabilidade |\braket{a}{b}|^2 e outros autovalores de \hat{A} com as probabilidades correspondentes.
Explicação intuitiva: medir \hat{B} projetou o estado em \ket{b}. Se \ket{b} não coincide com \ket{a}, esse novo estado não garante mais o resultado a para \hat{A}.
Passo 6
Um exemplo concreto e simples com spin 1/2 (a melhor forma de “ver na prática” o que acontece).
Tome \hat{A}=\sigma_z e \hat{B}=\sigma_x, as matrizes de Pauli. Estas não comutam: [\sigma_z,\sigma_x]\neq 0.
Agora a sequência: suponha que ao medir \sigma_z você obteve +1, então o estado fica \ket{\uparrow}. Medindo \sigma_x no estado \ket{\uparrow}, as probabilidades são
P(+1\text{ em }\sigma_x\!\mid\!\uparrow)=|\braket{\rightarrow}{\uparrow}|^2 = \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2=\tfrac{1}{2},
e idem para -1. Se ao medir \sigma_x saiu +1 e o estado colapsou para \ket{\rightarrow}, ao medir \sigma_z de novo temos
P(+1\text{ em }\sigma_z\!\mid\!\rightarrow)=|\braket{\uparrow}{\rightarrow}|^2=\tfrac{1}{2}.
Portanto o resultado inicial +1 em \sigma_z não foi preservado com certeza — virou aleatório com probabilidades 50/50. Isso mostra na prática que medir \hat{B} destrói a certeza obtida na medida anterior de \hat{A} quando os operadores não comutam.
Passo 7
Casos especiais e observações importantes (para cobrir exceções e dar segurança na prova).
Exceção óbvia: se o autovetor \ket{a} também for autovetor de \hat{B}, então \ket{a} é um autovetor comum e medir \hat{B} não altera o estado; neste caso medir \hat{B} e depois \hat{A} voltará com certeza o mesmo a. Isto exige que \hat{B}\ket{a}=b'\ket{a} para algum b'. Mesmo que [\hat{A},\hat{B}]\neq 0 globalmente, pode existir esse autovetor comum pontual — é uma exceção possível mas não a regra.
Degenerescência: se há degenerescência em \hat{A}, a projeção após medir a pode ser num subespaço; aí a análise precisa considerar subespaços e projetores. Mas a ideia permanece: medir \hat{B} pode sair do subespaço e assim alterar a medida de \hat{A}.
Conclusão prática: quando [\hat{A},\hat{B}]\neq 0, em geral as medidas são incompatíveis e medir uma perturba a outra; só não perturbam se o estado atual for um autovetor comum (caso especial).
Passo 8
Ligando com o princípio físico mais geral: relação de incerteza.
A não comutatividade está ligada à famosa desigualdade de incerteza de Heisenberg. Para um estado \ket{\psi},
\Delta A\,\Delta B \ge \tfrac{1}{2}\left|\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle\right|,
onde \Delta A é o desvio padrão de \hat{A} no estado \ket{\psi} e \langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle=\bra{\psi}[\hat{A},\hat{B}]\ket{\psi}. Isso reforça que, se o comutador não é zero, não é possível ter estado com incerteza zero para ambas simultaneamente — outra maneira de dizer que medidas são incompatíveis.
Passo 9
Resumo em palavras amigas e de prova (para decorar mentalmente antes da prova):
Se [\hat{A},\hat{B}]\neq 0, em geral \hat{A} e \hat{B} não são simultaneamente mensuráveis sem perturbação.
Depois de medir \hat{A} e obter \,a, medir \hat{B} geralmente muda o estado; ao medir \hat{A} novamente você não obterá necessariamente a. A probabilidade de recuperar a após obter b é |\braket{a}{b}|^2.
Exceção: se o estado \ket{a} for também autovetor de \hat{B}, então medir \hat{B} não altera a medida de \hat{A}.
Força aí — a ideia-chave é: não comutam → medem-se uma à custa da outra, salvo casos especiais de autovetores comuns.
Resposta
Não, em geral não: se [\hat{A},\hat{B}]\neq 0 as observáveis são incompatíveis e medir \hat{B} geralmente altera o resultado de \hat{A}.
A probabilidade de recuperar a após ter obtido b é |\braket{a}{b}|^2.
Exceção: se \ket{a} for também autovetor de \hat{B} (ou seja, um autovetor comum), então a medida de \hat{A} permanece a.