(2,0 pontos) Para a função f(x)=x^2+x-6x^2-4
a) Determine os limites abaixo
(i) lim x -3 f(x), (ii) lim x -2 f(x), (iii) lim x 0 f(x), (iv) lim x 1 f(x), (v) lim x 2 f(x),
b) Determine e classifique os pontos de descontinuidade da função. Determine também as assintotas verticais.
c) Estude o sinal da função.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a função
f(x)=x^2+x-6x^2-4
a) Calcular limites em xto -3,,-2,,0,,1,,2.
b) Encontrar e classificar descontinuidades e achar as assíntotas verticais.
c) Estudar onde f(x) é positiva ou negativa.
Conteúdo: fatoração de polinômios, limites (inclusive laterais), tipos de descontinuidade (removível vs. infinita) e análise de sinal usando gráficos de sinal de fatores. Vamos precisar fatorar, usar propriedades de limites e montar tabela de sinais.

Passo 2

Primeira coisa: fatorar numerador e denominador.
x^2+x-6=(x+3)(x-2), x^2-4=(x-2)(x+2)
Isso mostra que, para xneq 2,
f(x)=(x+3)(x-2)(x-2)(x+2) =x+3x+2
Mas atenção: o domínio original exclui x=2 e x=-2. Então temos um “buraco” (hole) em x=2 e possível assíntota em x=-2.

Passo 3

Vamos aos limites:
(i) limxto -3f(x).
Aqui não dá divisão por zero, basta substituir na forma simplificada:
limxto -3x+3x+2=-3+3-3+2=0-1=0
(ii) limxto -2f(x).
Na forma simplificada ,(x+3)/(x+2), o numerador to 1 e o denominador to 0.
  • Lateral esquerda ( xto -2^-): x+2 é negativo pequeno ⇒ quociente to -infty.
  • Lateral direita ( xto -2^+): x+2 é positivo pequeno ⇒ quociente to +infty.
    Como lim-2^-fneq lim-2^+f, o limite não existe (infinito desbalanceado).
(iii) limxto 0f(x).
Substituindo direto:
f(0)=0^2+0-60^2-4=-6-4=32
(iv) limxto 1f(x).
Também dá direto na versão simplificada:
1+31+2=43
(v) limxto 2f(x).
Originalmente dá 0/0, mas cancelamos o fator (x-2). Então
limxto 2x+3x+2=2+32+2=54

Passo 4

Descontinuidades e assíntotas:
– Pontos críticos: x=-2 e x=2.
– Em x=-2: a função “explode” pro infinito ⇒ descontinuidade infinita e assíntota vertical x=-2.
– Em x=2: temos buraco (0/0 que foi cancelado) ⇒ descontinuidade removível (hole), mas não assíntota.

Passo 5

Estudo de sinal de f(x)=x+3x+2 (sempre lembrando de excluir -2 e o ponto 2).
Fatores:
  • x+3=0 em x=-3;
  • x+2=0 em x=-2.
Intervalos:
  1. x<-3: x+3<0, x+2<0 ⇒ quociente +.
  2. -3<x<-2: x+3>0, x+2<0 ⇒ quociente -.
  3. x>-2 (até o infinito, excluindo x=2): ambos positivos ⇒ quociente +.
Logo:
  • f(x)>0 em (-infty,-3)cup(-2,2)cup(2,infty).
  • f(x)<0 em (-3,-2).
  • Zera em x=-3.

Resposta

a)
i) 0
ii) limxto -2^-f(x)=-infty,;limxto -2^+f(x)=+infty (limite não existe).
iii) 3/2
iv) 4/3
v) 5/4
b) Descontinuidades em x=-2 (infinita, assíntota vertical x=-2) e em x=2 (removível, hole).
c) f(x)>0 em (-infty,-3)cup(-2,2)cup(2,infty), f(x)<0 em (-3,-2), e f(x)=0 só em x=-3.

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