(2,0 pontos) Para a função
a) Determine os limites abaixo
(i)
, (ii)
, (iii)
, (iv)
(v)
,
b) Determine e classifique os pontos de descontinuidade da função. Determine também as assintotas verticais.
c) Estude o sinal da função.
a) Determine os limites abaixo
(i)
b) Determine e classifique os pontos de descontinuidade da função. Determine também as assintotas verticais.
c) Estude o sinal da função.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a função
a) Calcular limites em
.
b) Encontrar e classificar descontinuidades e achar as assíntotas verticais.
c) Estudar onde é positiva ou negativa.
b) Encontrar e classificar descontinuidades e achar as assíntotas verticais.
c) Estudar onde
Conteúdo: fatoração de polinômios, limites (inclusive laterais), tipos de descontinuidade (removível vs. infinita) e análise de sinal usando gráficos de sinal de fatores. Vamos precisar fatorar, usar propriedades de limites e montar tabela de sinais.
Passo 2
Primeira coisa: fatorar numerador e denominador.
Isso mostra que, para
,
Mas atenção: o domínio original exclui
e
. Então temos um “buraco” (hole) em
e possível assíntota em
.
Passo 3
Vamos aos limites:
(i)
.
Aqui não dá divisão por zero, basta substituir na forma simplificada:
Aqui não dá divisão por zero, basta substituir na forma simplificada:
(ii)
.
Na forma simplificada , o numerador
e o denominador
.
Na forma simplificada
- Lateral esquerda (
): é negativo pequeno ⇒ quociente . - Lateral direita (
): é positivo pequeno ⇒ quociente .
Como, o limite não existe (infinito desbalanceado).
(iii)
.
Substituindo direto:
Substituindo direto:
(iv)
.
Também dá direto na versão simplificada:
Também dá direto na versão simplificada:
(v)
.
Originalmente dá , mas cancelamos o fator
. Então
Originalmente dá
Passo 4
Descontinuidades e assíntotas:
– Pontos críticos:
e
.
– Em : a função “explode” pro infinito ⇒ descontinuidade infinita e assíntota vertical
.
– Em : temos buraco (0/0 que foi cancelado) ⇒ descontinuidade removível (hole), mas não assíntota.
– Em
– Em
Passo 5
Estudo de sinal de
(sempre lembrando de excluir
e o ponto
).
Fatores:
-
em ; -
em .
Intervalos:
-
: , ⇒ quociente . -
: , ⇒ quociente . -
(até o infinito, excluindo ): ambos positivos ⇒ quociente .
Logo:
-
em . -
em . - Zera em
.
Resposta
a)
i)
ii) (limite não existe).
iii)
iv)
v)
i)
ii)
iii)
iv)
v)
b) Descontinuidades em
(infinita, assíntota vertical
) e em
(removível, hole).
c)
em
,
em
, e
só em
.