(1,5 pontos) Para a função f(x)=x^3-x^2-x+1
a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x=-1.
b) Determine os pontos onde a reta tangente ao gráfico é horizontal.
c) Faça um esboço do gráfico da função no intervalo -1,5 <= x <= 1,5, incluindo os esboços das retas tangentes calculadas nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^3 - x^2 - x + 1
e pede:
  1. A reta tangente em x=-1.
  2. Os pontos onde a reta tangente é horizontal.
  3. Um esboço do gráfico em [-1,5,1,5] incluindo as retas tangentes.
    Para isso, vamos usar a derivada
f'(x)=ddxl(x^3 - x^2 - x + 1r)=3x^2 - 2x -1
e a fórmula da reta tangente em x=a:
y - f(a) = f'(a),(x - a)

Passo 2

Calcular f(-1) e f'(-1).
f(-1)=(-1)^3 -(-1)^2 -(-1)+1 = -1 -1 +1 +1 = 0,
f'(-1)=3(-1)^2 -2(-1) -1 = 3 +2 -1 = 4

Passo 3

Aplicando a fórmula da reta tangente em a=-1:
y - f(-1) = f'(-1),(x - (-1)) Longrightarrow y - 0 = 4,(x +1) Longrightarrow y = 4x + 4

Passo 4

Para que a reta tangente seja horizontal precisamos de f'(x)=0.
3x^2 - 2x -1 = 0 Longrightarrow x = 2 pm raiz4 +126 = 2 pm 46,
portanto x=1 ou x=-tfrac13.
Calculando os valores de f nesses pontos:
f(1)=1 -1 -1 +1 = 0,
fl(-tfrac13r) = l(-tfrac13r)^3 - l(-tfrac13r)^2 - l(-tfrac13r) +1 = -tfrac127 - tfrac19 + tfrac13 +1 = tfrac3227
Logo os pontos de tangência horizontal são
l(1,0r) e l(-tfrac13,tfrac3227r).

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico em [-1,5,1,5]:
  • Em x=-1 o valor é f(-1)=0 e a reta tangente é y=4x+4, que cruza o ponto (-1,0).
  • O polinômio de grau 3, com coeficiente líder positivo, cresce para +infty à direita e decresce para -infty à esquerda.
  • Há um máximo local em l(-tfrac13,tfrac3227r) com reta tangente horizontal y=tfrac3227.
  • Há um mínimo local em (1,0) com reta tangente horizontal y=0.
    No esboço, desenhe a curva passando por esses pontos, com formato de “S” invertido, e inclua as retas tangentes y=4x+4, y=tfrac3227 e y=0.

Resposta

a) y = 4x + 4
b) Pontos de tangência horizontal: l(-tfrac13,tfrac3227r) e (1,0).
c) Esboço conforme descrito no passo 5.

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