(1,5 pontos) Para a função
a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
b) Determine os pontos onde a reta tangente ao gráfico é horizontal.
c) Faça um esboço do gráfico da função no intervalo
, incluindo os esboços das retas tangentes calculadas nos itens anteriores.
a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
b) Determine os pontos onde a reta tangente ao gráfico é horizontal.
c) Faça um esboço do gráfico da função no intervalo
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
- A reta tangente em
. - Os pontos onde a reta tangente é horizontal.
- Um esboço do gráfico em
incluindo as retas tangentes.
Para isso, vamos usar a derivada
e a fórmula da reta tangente em
:
Passo 2
Calcular
e
.
Passo 3
Aplicando a fórmula da reta tangente em
:
Passo 4
Para que a reta tangente seja horizontal precisamos de
.
portanto
ou
.
Calculando os valores de nesses pontos:
Calculando os valores de
Logo os pontos de tangência horizontal são
e
.
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico em
:
- Em
o valor é e a reta tangente é , que cruza o ponto . - O polinômio de grau 3, com coeficiente líder positivo, cresce para
à direita e decresce para à esquerda. - Há um máximo local em
com reta tangente horizontal . - Há um mínimo local em
com reta tangente horizontal .
No esboço, desenhe a curva passando por esses pontos, com formato de “S” invertido, e inclua as retas tangentes, e .
Resposta
a)
b) Pontos de tangência horizontal: e
.
c) Esboço conforme descrito no passo 5.
b) Pontos de tangência horizontal:
c) Esboço conforme descrito no passo 5.