( 2 pontos) O número (1234 x)_{6} é equivalente ao número (2500)_{9}. Determine o dígito x.

Passo 1

O enunciado dá dois números em bases diferentes e pede para encontrar o dígito x. Informações dadas:
  • O número em base 6 é (1\,2\,3\,4\,x)_{6}. Ou seja, os dígitos, da esquerda para a direita, são 1,2,3,4,x.
  • O número em base 9 é (2\,5\,0\,0)_{9}.
  • A tarefa: determinar o valor do dígito x (que deve ser um dígito válido em base 6, isto é, x\in\{0,1,2,3,4,5\}) tal que os dois números representem o mesmo valor absoluto.

Passo 2

Explicação didática sobre sistema posicional (o que vou usar).
  • Em uma base b, um número com dígitos d_n d_{n-1}\ldots d_1 d_0 representa o valor
\sum_{k=0}^{n} d_k\,b^{k}.
  • Aqui cada d_k é um dígito (um inteiro) entre 0 e b-1. O índice k conta posições a partir da direita:
    • d_0 é as unidades ( b^0),
    • d_1 são as “b’s” ( b^1),
    • e assim por diante.
  • Vou aplicar essa fórmula para converter cada número para a base decimal (ou simplesmente para um valor numérico) e depois igualar as duas expressões para achar x.

Passo 3

Converter (2\,5\,0\,0)_{9} para valor decimal usando a fórmula posicional.
  • Escrevendo os termos:
(2\,5\,0\,0)_{9} = 2\cdot 9^{3} + 5\cdot 9^{2} + 0\cdot 9^{1} + 0\cdot 9^{0}.
  • Calcular as potências e produtos:
9^{2}=81,\qquad 9^{3}=729.
2\cdot 9^{3} = 2\cdot 729 = 1458, \qquad 5\cdot 9^{2} = 5\cdot 81 = 405.
  • Somando os termos:
1458 + 405 + 0 + 0 = 1863.
Portanto
(2\,5\,0\,0)_{9} = 1863.

Passo 4

Converter (1\,2\,3\,4\,x)_{6} em uma expressão que contenha x.
  • Aplicando a fórmula posicional:
(1\,2\,3\,4\,x)_{6} = 1\cdot 6^{4} + 2\cdot 6^{3} + 3\cdot 6^{2} + 4\cdot 6^{1} + x\cdot 6^{0}.
  • Calcular as potências de 6:
6^{1}=6,\qquad 6^{2}=36,\qquad 6^{3}=216,\qquad 6^{4}=1296.
  • Calcular cada termo (sem esquecer que x permanece simbólico para agora):
1\cdot 1296 = 1296, \qquad 2\cdot 216 = 432, \qquad 3\cdot 36 = 108, \qquad 4\cdot 6 = 24, \qquad x\cdot 6^{0} = x\cdot 1 = x.
  • Somando os termos numéricos:
1296 + 432 + 108 + 24 = 1860.
Logo
(1\,2\,3\,4\,x)_{6} = 1860 + x.

Passo 5

Igualar os dois valores (já que os números são equivalentes) e resolver para x.
  • Temos
1860 + x = 1863.
  • Subtraindo 1860 dos dois lados:
x = 1863 - 1860 = 3.

Passo 6

Verificação e validade do dígito.
  • O valor encontrado é x=3.
  • Em base 6 os dígitos permitidos são \{0,1,2,3,4,5\}; portanto 3 é um dígito válido.
  • Conferindo numericamente:
(1\,2\,3\,4\,3)_{6} = 1860 + 3 = 1863 = (2\,5\,0\,0)_{9},
confirmando a equivalência.

Passo 7

Recado final motivacional: beleza — encontramos x passo a passo usando apenas a ideia de valor posicional. Segue firme nos exercícios!

Resposta

x=3

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