( 2 pontos) O número
é equivalente ao número
. Determine o dígito
.
Passo 1
O enunciado dá dois números em bases diferentes e pede para encontrar o dígito
. Informações dadas:
- O número em base 6 é
. Ou seja, os dígitos, da esquerda para a direita, são . - O número em base 9 é
. - A tarefa: determinar o valor do dígito
(que deve ser um dígito válido em base 6, isto é, ) tal que os dois números representem o mesmo valor absoluto.
Passo 2
Explicação didática sobre sistema posicional (o que vou usar).
- Em uma base
, um número com dígitos representa o valor
- Aqui cada
é um dígito (um inteiro) entre e . O índice conta posições a partir da direita: -
é as unidades ( ), -
são as “b’s” ( ), - e assim por diante.
-
- Vou aplicar essa fórmula para converter cada número para a base decimal (ou simplesmente para um valor numérico) e depois igualar as duas expressões para achar
.
Passo 3
Converter
para valor decimal usando a fórmula posicional.
- Escrevendo os termos:
- Calcular as potências e produtos:
- Somando os termos:
Portanto
Passo 4
Converter
em uma expressão que contenha
.
- Aplicando a fórmula posicional:
- Calcular as potências de
:
- Calcular cada termo (sem esquecer que
permanece simbólico para agora):
- Somando os termos numéricos:
Logo
Passo 5
Igualar os dois valores (já que os números são equivalentes) e resolver para
.
- Temos
- Subtraindo
dos dois lados:
Passo 6
Verificação e validade do dígito.
- O valor encontrado é
. - Em base
os dígitos permitidos são ; portanto é um dígito válido. - Conferindo numericamente:
confirmando a equivalência.
Passo 7
Recado final motivacional: beleza — encontramos
passo a passo usando apenas a ideia de valor posicional. Segue firme nos exercícios!