( 1,5 pontos) Um grande banco negocia títulos na bolsa de valores e utiliza um modelo probabilístico para avaliar seus lucros. Suas aplicações financeiras de compra e venda atingem três áreas: agricultura, indústria
e comércio. Admita que o seguinte modelo representa o comportamento do lucro diário da corretora (em milhares de reais)
com
representando, respectivamente, os lucros diários nos setores de agricultura, indústria e comércio. Assumindo que
e
e que as variáveis
são independentes, calcule a probabilidade de um lucro diário acima de 35 mil?
e comércio. Admita que o seguinte modelo representa o comportamento do lucro diário da corretora (em milhares de reais)
Passo 1
O enunciado define o lucro diário total como uma combinação linear de três variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas:
onde
,
e
. Como combinação linear de normais independentes também é normal, vamos usar essa propriedade para encontrar a distribuição de
e então calcular
.
Passo 2
Calculamos a esperança de
usando a linearidade da esperança:
Passo 3
Calculamos a variância de
usando a independência e a fórmula
:
Passo 4
Concluímos que
Passo 5
Queremos
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Passo 6
Calculamos o escore padrão:
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Resposta
A probabilidade de ter lucro diário acima de 35 mil é aproximadamente
(70,3%).