( 1,5 pontos) Um grande banco negocia títulos na bolsa de valores e utiliza um modelo probabilístico para avaliar seus lucros. Suas aplicações financeiras de compra e venda atingem três áreas: agricultura, indústria
e comércio. Admita que o seguinte modelo representa o comportamento do lucro diário da corretora (em milhares de reais)
L=2 L_{A}+3 L_{I}+4 L_{C}
com L_{A}, L_{I}, L_{C} representando, respectivamente, os lucros diários nos setores de agricultura, indústria e comércio. Assumindo que L_{A} \sim N(3,4), L_{I} \sim N(5,9) e L_{C} \sim N(6,16) e que as variáveis L_{A}, L_{I}, L_{C} são independentes, calcule a probabilidade de um lucro diário acima de 35 mil?

Passo 1

O enunciado define o lucro diário total como uma combinação linear de três variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas:
L = 2L_{A} + 3L_{I} + 4L_{C},
onde L_{A}\sim N(3,4), L_{I}\sim N(5,9) e L_{C}\sim N(6,16). Como combinação linear de normais independentes também é normal, vamos usar essa propriedade para encontrar a distribuição de L e então calcular \Pr(L>35).

Passo 2

Calculamos a esperança de L usando a linearidade da esperança:
E(L) = 2\,E(L_{A}) + 3\,E(L_{I}) + 4\,E(L_{C}) = 2\cdot 3 + 3\cdot 5 + 4\cdot 6 = 6 + 15 + 24 = 45.

Passo 3

Calculamos a variância de L usando a independência e a fórmula \Var(aX)=a^{2}\Var(X):
\Var(L) = 2^{2}\Var(L_{A}) + 3^{2}\Var(L_{I}) + 4^{2}\Var(L_{C}) = 4\cdot 4 + 9\cdot 9 + 16\cdot 16 = 16 + 81 + 256 = 353.

Passo 4

Concluímos que
L \sim N\bigl(45,\;353\bigr).

Passo 5

Queremos
\Pr(L>35) = 1 - \Phi\!\biggl(\frac{35 - 45}{\sqrt{353}}\biggr),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 6

Calculamos o escore padrão:
z = \frac{35 - 45}{\sqrt{353}} = \frac{-10}{\sqrt{353}}\approx -0,5323.
Logo
\Pr(L>35) = 1 - \Phi(-0,5323) = \Phi(0,5323)\approx 0,703.

Resposta

A probabilidade de ter lucro diário acima de 35 mil é aproximadamente 0,703 (70,3%).

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