As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas. Para responder as questões a seguir, represente os últimos cinco algarismos do seu número de matrícula por A, B, C, D e E. Por exemplo, se o seu número de matrícula é 123456789, então A=9, B=8, C=7, D=6 e E=5. \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\ D & E & A \\\\ 0 & E & A\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\ D & E & A\\\\ 0 & E & A \end{pmatrix}
de um sistema 3\times3. Pergunta-se o número de soluções de \,M x = b
quando (i) b=0 (sistema homogêneo) e (ii) b é geral. Para isso, vamos usar o Teorema da Existência e Unicidade: o sistema é único se \det M\neq0, e se \det M=0 então ou não há solução ou há infinitas, dependendo da consistência.
Passo 2
Calculamos
\det M =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}E&A\E&A\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}D&A\\\ 0&A\end{pmatrix} +3\cdot\det\!\begin{pmatrix}D&E\\\ 0&E\end{pmatrix}.
Cada menor é \det\begin{pmatrix}E&A\E&A\end{pmatrix}=EA-EA=0, \det\begin{pmatrix}D&A\\\ 0&A\end{pmatrix}=DA, \det\begin{pmatrix}D&E\\\ 0&E\end{pmatrix}=DE.
Logo
\det M = -2\,D A +3\,D E = D\,(3E-2A).
Passo 3
Se D\,(3E-2A)\neq0, então \det M\neq0 e \mathrm{rank}(M)=3.
(i) No homogêneo só existe a solução trivial x=0.
(ii) Para qualquer vetor b o sistema é compatível determinado, logo há exatamente uma solução.
Passo 4
Se D\,(3E-2A)=0, então \det M=0 e \mathrm{rank}(M)<3. Em todos esses casos a dimensão do núcleo é 3-\mathrm{rank}(M)\ge1, então o homogêneo tem infinitas soluções. Para o caso não homogêneo:
Se b não pertence ao espaço gerado pelas colunas de M, o sistema é incompatível (nenhuma solução).
Se b pertence a esse espaço, há grau de liberdade igual a 3-\mathrm{rank}(M)\ge1 e, portanto, infinitas soluções.
Passo 5
Em resumo, definindo \Delta=D(3E-2A):
Se \Delta\neq0, então
(i) homogêneo: única solução x=0.
(ii) geral: única solução para todo b.
Se \Delta=0, então
(i) homogêneo: infinitas soluções.
(ii) geral: nenhuma solução para b\notin\mathrm{Im}(M), infinitas soluções para b\in\mathrm{Im}(M).
Resposta
(i) Se D(3E-2A)\neq0, só a solução trivial; se D(3E-2A)=0, infinitas.
(ii) Se D(3E-2A)\neq0, única para todo b; se D(3E-2A)=0, ou não há solução (se b não estiver na coluna de M) ou há infinitas (se b estiver).