As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas. Para responder as questões a seguir, represente os últimos cinco algarismos do seu número de matrícula por A, B, C, D e E. Por exemplo, se o seu número de matrícula é 123456789, então A=9, B=8, C=7, D=6 e E=5. \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\\ B & C \\\\ 2 & 3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado apresenta a matriz de coeficientes de um sistema linear em \mathbb R^{3\times2}:
A = \begin{pmatrix} 3 & 2\\\ B & C\\\\ 2 & 3 \end{pmatrix},
onde B e C são dígitos dos últimos cinco algarismos da matrícula. Queremos classificar o número de soluções de A x = b nos casos:
(i) b=(0,0,0) (homogêneo) e
(ii) b=(b_{1},b_{2},b_{3}) geral (inhomogêneo).
Usaremos conceitos de posto da matriz, teorema da dimensão e condição de compatibilidade.
Passo 2
Calculamos o posto de A observando as duas colunas \mathbf{c}_{1}=(3,B,2) e \mathbf{c}_{2}=(2,C,3). Se existisse escalar k tal que \mathbf{c}_{1}=k\,\mathbf{c}_{2}, teríamos
3=2k,\quad B=C\,k,\quad 2=3k,
das quais k=3/2 e k=2/3 se contradizem. Logo não há tal k e as colunas são linearmente independentes. Portanto
\mathrm{rank}(A)=2.
Passo 3
No caso homogêneo A x=0, o teorema da dimensão (nulidade + posto = número de incógnitas) dá
\dim\ker(A) = n - \mathrm{rank}(A) = 2 - 2 = 0.
Isto significa que a única solução é a trivial
x_1=0,\quad x_2=0.
Passo 4
Para A x = b geral, a existência de solução exige que b pertença à imagem de A, que é um subespaço de dimensão 2 em \mathbb R^3. Se b\notin\mathrm{Im}(A), não há solução. Se b\in\mathrm{Im}(A), como \mathrm{rank}(A)= número de incógnitas, a solução, quando existe, é única. A condição de compatibilidade pode ser obtida impondo que b seja ortogonal a um vetor normal a \mathrm{Im}(A); um cálculo direto fornece