Prove as seguintes identidades vetorias:
Utilize notação de componentes para as identidades vetoriais.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar a identidade
onde
é uma curva fechada que orienta a superfície
e
é a normal unitária escolhida compatível com a orientação de
. As informações importantes que temos são:
-
e são campos escalares suaves (deriváveis duas vezes, pelo menos) definidos numa vizinhança de . -
é o contorno fechado de e a orientação de e estão relacionadas pela regra da mão direita (orientação de Stokes). - Devemos usar notação de componentes (índices) para as identidades vetoriais.
Passo 2
Ferramenta principal (em notação de componentes): o Teorema de Stokes diz que, para qualquer campo vetorial
,
Em componentes, o rotacional tem a forma
onde
é o símbolo de Levi-Civita (totalmente antissimétrico: troca de dois índices muda o sinal) e usamos a convenção de soma de Einstein (índices repetidos são somados). Aqui
significa
.
Passo 3
Escolhemos o campo vetorial
Em componentes isso significa
Aplicando Stokes em componentes:
Agora substituímos
:
Passo 4
Expandimos a derivada usando a regra do produto:
Logo
Mostramos que o segundo termo se anula. Observe que as derivadas parciais comutam (
), enquanto
é antissimétrico em
e
. Escrevendo explicitamente, trocando
dá
mas como
o termo é igual ao seu próprio negativo, portanto é zero:
Multiplicando por
(escalares passam por fora) também dá zero:
Passo 5
Ficamos então com
Mas a definição por componentes do produto vetorial diz que o
-ésimo componente de
é exatamente
. Ou seja,
Substituindo de volta na integral de superfície:
Passo 6
Concluímos, reunindo tudo:
como pedido. Nota sobre orientação: a orientação de
e de
deve ser a compatível com o Teorema de Stokes (regra da mão direita).