Prove as seguintes identidades vetorias:
\oint_{c} \varphi \vec{\nabla} \psi \\. d \mathbf{r}=\\\iint_{s}(\vec{\nabla} \varphi \times \vec{\nabla} \psi) \\. \mathbf{n} d S\
Utilize notação de componentes para as identidades vetoriais.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar a identidade
\oint_{c} \varphi \,\nabla \psi \cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla \varphi \times \nabla \psi)\cdot \mathbf{n}\, dS,
onde c é uma curva fechada que orienta a superfície S e \mathbf{n} é a normal unitária escolhida compatível com a orientação de c. As informações importantes que temos são:
  • \varphi e \psi são campos escalares suaves (deriváveis duas vezes, pelo menos) definidos numa vizinhança de S.
  • c=\partial S é o contorno fechado de S e a orientação de c e S estão relacionadas pela regra da mão direita (orientação de Stokes).
  • Devemos usar notação de componentes (índices) para as identidades vetoriais.

Passo 2

Ferramenta principal (em notação de componentes): o Teorema de Stokes diz que, para qualquer campo vetorial \mathbf{F},
\oint_{c} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\, dS.
Em componentes, o rotacional tem a forma
(\nabla\times\mathbf{F})_i = \epsilon_{ijk}\,\partial_j F_k,
onde \epsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (totalmente antissimétrico: troca de dois índices muda o sinal) e usamos a convenção de soma de Einstein (índices repetidos são somados). Aqui \partial_j significa \partial/\partial x_j.

Passo 3

Escolhemos o campo vetorial
\mathbf{F} = \varphi\,\nabla\psi.
Em componentes isso significa
F_k = \varphi\,\partial_k \psi.
Aplicando Stokes em componentes:
\oint_{c} \varphi\,\nabla\psi\cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\, dS = \iint_{S} \left(\epsilon_{ijk}\,\partial_j F_k\right) n_i\, dS.
Agora substituímos F_k=\varphi\,\partial_k\psi:
\epsilon_{ijk}\,\partial_j F_k = \epsilon_{ijk}\,\partial_j(\varphi\,\partial_k\psi).

Passo 4

Expandimos a derivada usando a regra do produto:
\partial_j(\varphi\,\partial_k\psi) = (\partial_j\varphi)(\partial_k\psi) + \varphi\,\partial_j\partial_k\psi.
Logo
\epsilon_{ijk}\,\partial_j(\varphi\,\partial_k\psi) = \epsilon_{ijk}(\partial_j\varphi)(\partial_k\psi) + \epsilon_{ijk}\,\varphi\,\partial_j\partial_k\psi.
Mostramos que o segundo termo se anula. Observe que as derivadas parciais comutam ( \partial_j\partial_k\psi=\partial_k\partial_j\psi), enquanto \epsilon_{ijk} é antissimétrico em j e k. Escrevendo explicitamente, trocando j\leftrightarrow k
\epsilon_{ikj}\,\partial_k\partial_j\psi = -\epsilon_{ijk}\,\partial_j\partial_k\psi,
mas como \partial_k\partial_j\psi=\partial_j\partial_k\psi o termo é igual ao seu próprio negativo, portanto é zero:
\epsilon_{ijk}\,\partial_j\partial_k\psi = 0.
Multiplicando por \varphi (escalares passam por fora) também dá zero:
\epsilon_{ijk}\,\varphi\,\partial_j\partial_k\psi = 0.

Passo 5

Ficamos então com
\epsilon_{ijk}\,\partial_j(\varphi\,\partial_k\psi) = \epsilon_{ijk}(\partial_j\varphi)(\partial_k\psi).
Mas a definição por componentes do produto vetorial diz que o i-ésimo componente de \nabla\varphi\times\nabla\psi é exatamente \epsilon_{ijk}(\partial_j\varphi)(\partial_k\psi). Ou seja,
\epsilon_{ijk}(\partial_j\varphi)(\partial_k\psi) = (\nabla\varphi\times\nabla\psi)_i.
Substituindo de volta na integral de superfície:
\iint_{S} \left(\epsilon_{ijk}\,\partial_j F_k\right) n_i\, dS = \iint_{S} (\nabla\varphi\times\nabla\psi)_i\, n_i\, dS = \iint_{S} (\nabla\varphi\times\nabla\psi)\cdot\mathbf{n}\, dS.

Passo 6

Concluímos, reunindo tudo:
\oint_{c} \varphi\,\nabla\psi\cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla\varphi\times\nabla\psi)\cdot\mathbf{n}\, dS,
como pedido. Nota sobre orientação: a orientação de c e de \mathbf{n} deve ser a compatível com o Teorema de Stokes (regra da mão direita).

Resposta

\oint_{c} \varphi\,\nabla\psi\cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla\varphi\times\nabla\psi)\cdot\mathbf{n}\, dS

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