( 2,5 pontos): Logo depois que a Terra se formou, o calor causado pelo decaimento de elementos radioativos aumentou a temperatura interna média de 300 K para 3000 K , que é, aproximadamente, o valor atual. Raio da Terra atual 6400 km .
a) Suponha que o aumento de volume da Terra, desde a sua formação, seja de 10 \%, estime o coeficiente de dilatação linear médio da Terra.
b) Estime o raio da Terra no inicio da sua formaçăo.

Passo 1

O enunciado fala que, após a formação da Terra, sua temperatura interna média subiu de 300,K para 3000,K, e que o raio atual é 6400,km. Pede-se:
a) estimar o coeficiente de dilatação linear médio \alpha supondo que o volume cresceu 10\%.
b) estimar o raio inicial da Terra.
O conteúdo usado é a dilatação térmica isotrópica, onde o coeficiente volumétrico \beta relaciona \Delta V/V com \Delta T e vale \beta=3\alpha.

Passo 2

Para dilatação térmica isotrópica vale
\frac{\Delta V}{V} \;=\;\beta\,\Delta T
e como \beta=3\alpha, então
\frac{\Delta V}{V} \;=\;3\,\alpha\,\Delta T.

Passo 3

Substituindo \Delta V/V=0{,}10 e \Delta T = 3000 - 300 = 2700,K, temos
0{,}10 = 3 \alpha \times 2700
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\alpha = \frac{0{,}10}{3 \times 2700} = \frac{0{,}10}{8100} \approx 1,23\times10^{-5}\,\text{K}^{-1}.

Passo 4

Na dilatação linear, o raio final \,R_f e o inicial \,R_0 obedecem
R_f = R_0\,(1 + \alpha\,\Delta T).
Queremos R_0, então
R_0 = \frac{R_f}{1 + \alpha\,\Delta T} = \frac{6400\:\text{km}}{1 + (1,23\times10^{-5})(2700)}.
Calculando o denominador:
1 + (1,23\times10^{-5})(2700)\approx 1 + 0{,}0333 = 1{,}0333,
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R_0 \approx \frac{6400}{1{,}0333}\approx 6193\:\text{km}.

Resposta

a) \displaystyle \alpha \approx 1,23\times10^{-5}\,\text{K}^{-1}.
b) Raio inicial \displaystyle R_0\approx 6200,km.

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