Três massas m_{1}=1 \mathrm{~kg}, m_{2}=2 \mathrm{~kg} e m_{3}=3 \mathrm{~kg} encontram-se nas coordenadas \vec{r}_{1}=(1 ; 3 ; 5), \overrightarrow{r_{2}}=(4 ; 1 ; 2) e \overrightarrow{r_{3}}=(1 ; 3 ; 3). Quais as coordenadas do centro de massa do sistema?

Passo 1

O enunciado dá três massas m_{1}=1,kg, m_{2}=2,kg e m_{3}=3,kg localizadas em \vec{r}_{1}=(1;3;5), \vec{r}_{2}=(4;1;2) e \vec{r}_{3}=(1;3;3).
Queremos calcular o centro de massa do sistema, usando a fórmula
\vec{R}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{3}m_{i}\,\vec{r}_{i},
onde M=m_{1}+m_{2}+m_{3}.

Passo 2

Calcular a massa total M:
M = m_{1}+m_{2}+m_{3} = 1 + 2 + 3 = 6\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Calcular a componente x do centro de massa:
\sum_{i=1}^{3}m_{i}x_{i} = m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + m_{3}x_{3} = 1\cdot1 + 2\cdot4 + 3\cdot1 = 1 + 8 + 3 = 12.
Logo
X_{\rm cm} = \frac{12}{6} = 2.

Passo 4

Calcular a componente y do centro de massa:
\sum_{i=1}^{3}m_{i}y_{i} = 1\cdot3 + 2\cdot1 + 3\cdot3 = 3 + 2 + 9 = 14.
Logo
Y_{\rm cm} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}.

Passo 5

Calcular a componente z do centro de massa:
\sum_{i=1}^{3}m_{i}z_{i} = 1\cdot5 + 2\cdot2 + 3\cdot3 = 5 + 4 + 9 = 18.
Logo
Z_{\rm cm} = \frac{18}{6} = 3.

Resposta

As coordenadas do centro de massa são
\vec{R} = \Bigl(2;\,\tfrac{7}{3};\,3\Bigr).

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