2 (6 pontos) Luz coerente e polarizada, com comprimento de onda 679 nm e intensidade I_{0}, incide sobre um conjunto de fendas duplas. Em um anteparo a uma distância 2,14 \mathrm{~m} das fendas, a distância entre as franjas escuras é de 4,40 \mathrm{~mm}.
(a) Qual é a distância entre as fendas? (b) Qual é a primeira posição y na tela onde a intensidade será 1 / 3 da intensidade incidente? Desconsidere os efeitos de difração na intensidade.
(a) (A) 370 \mu \mathrm{~m}, (B) 295 \mu \mathrm{~m}, (C) 519 \mu \mathrm{~m}, (D) 452 \mu \mathrm{~m}, (E) 558 \mu \mathrm{~m}, (F) 330 \mu \mathrm{~m}, (G) 422 \mu \mathrm{~m}, (H) 215 \mu \mathrm{~m}, (I) 277 \mu \mathrm{~m}, (J) 254 \mu \mathrm{~m}, (K) 398 \mu \mathrm{~m}, (L) 478 \mu \mathrm{~m}, (M) 204 \mu \mathrm{~m}, (N) 189 \mu \mathrm{~m}, (O) 179 \mu \mathrm{~m}, § 230 \mu \mathrm{~m},
(b) (A) 1,19 \mathrm{~mm}, (B) 0,943 \mathrm{~mm}, (C) 0,995 \mathrm{~mm}, (D) 1,59 \mathrm{~mm}, (E) 1,49 \mathrm{~mm}, (F) 1,12 \mathrm{~mm}, (G) 1,05 \mathrm{~mm}, (H) 1,34 \mathrm{~mm}, (I) 1,72 \mathrm{~mm}, (J) 0,880 \mathrm{~mm},

Passo 1

O enunciado apresenta luz coerente e polarizada de comprimento de onda \lambda = 679\,\mathrm{nm} incidindo em fenda dupla, produzindo franjas de interferência num anteparo a L = 2,14\,\mathrm{m}. A distância entre franjas escuras sucessivas é \Delta y = 4,40\,\mathrm{mm}. A parte (a) pede a separação d entre as fendas; a parte (b) pede a posição y da primeira franja onde a intensidade seja I(y)=\tfrac13I_0. Usaremos a teoria de interferência de Young para determinar d e a distribuição de intensidade.

Passo 2

Na interferência de Young, as franjas escuras surgem quando a diferença de caminho \Delta vale (m+\tfrac12)\lambda. Para pequenos ângulos, as posições dessas franjas no anteparo são
y_m = \Bigl(m+\tfrac12\Bigr)\frac{\lambda L}{d},
o que implica que a separação entre duas franjas escuras adjacentes é
\Delta y = \frac{\lambda L}{d}.

Passo 3

Isolando d na expressão de \Delta y, obtemos
d = \frac{\lambda L}{\Delta y} = \frac{679\times10^{-9}\,\mathrm{m}\;\times2,14\,\mathrm{m}}{4,40\times10^{-3}\,\mathrm{m}} \approx3,30\times10^{-4}\,\mathrm{m} =330\,\mu\mathrm{m}.

Passo 4

Desprezando os efeitos de difração na forma de cada fenda, a intensidade no ponto y do anteparo é
I(y)=I_0\cos^2\!\bigl(\tfrac{\delta}{2}\bigr),
onde o desfasamento total é
\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\,d\,\sin\theta \approx \frac{2\pi}{\lambda}\,d\,\frac{y}{L}.
Chamando \varphi=\tfrac{\delta}{2}=\tfrac{\pi d\,y}{\lambda L}, reescrevemos
I(y)=I_0\cos^2(\varphi).

Passo 5

Para achar a primeira posição y>0 em que I(y)=\tfrac13I_0, resolvemos
\cos^2(\varphi)=\tfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos(\varphi)=\pm\tfrac1{\sqrt3}.
A menor solução positiva é
\phi_1 = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac1{\sqrt3}\bigr)\approx0,9553\,\mathrm{rad}.
Logo
y =\frac{\lambda L}{\pi d}\,\phi_1 =\frac{679\times10^{-9}\times2,14}{\pi\times3,30\times10^{-4}}\times0,9553 \approx1,34\times10^{-3}\,\mathrm{m} =1,34\,\mathrm{mm}.

Resposta

(a) 330\,\mu\mathrm{m}
(b) 1,34\,\mathrm{mm}

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