(3 pontos) - Na manufatura do papel, toras de madeira são cortadas em pequenos cavacos que são misturados numa solução alcalina que dissolve vários dos constituintes químicos da madeira, mas não a celulose. A lama de cavacos não dissolvidos em solução é processada para recuperação da maior parte dos constituintes da solução original e polpa de madeira seca. Em um destes processos, cavacos de madeira com uma densidade relativa de 0,64 contendo 45 \% de água e 47 \% de celulose (base seca) são tratados para produzir 1400 toneladas/dia de polpa de madeira seca contendo 85 \% de celulose. Estime a vazāo de alimentação de toras de madeira (toras/min), assumindo que as toras tem um diâmetro médio de 8 polegadas e um comprimento médio de 7 pés.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pedido: estimar a vazão de alimentação em toras por minuto (toras/min).
  • Dados do enunciado:
    • Produção de polpa de madeira seca: \,1400\\ \text{toneladas/dia}\, (esta é massa seca de polpa).
    • Polpa contém \,85\% de celulose (em massa seca).
    • Toras de madeira: densidade relativa \,0,64 (em relação à água), contêm \,45\% de água (base úmida) e \,47\% de celulose (base seca).
    • Dimensões médias da tora: diâmetro =8 polegadas e comprimento =7 pés.
  • Observação importante (extraída do enunciado): a porcentagem de celulose dada para as toras é “base seca” (ou seja, \,47\% da massa seca das toras).
  • Meta imediata: converter os dados de composição em uma vazão de massa de toras (t/dia → t/min) e então transformar essa vazão de massa em número de toras por minuto usando o volume e a densidade de cada tora.

Passo 2

Calcular a massa de celulose necessária por dia (na polpa produzida).
  • A polpa seca produzida tem massa \,1400\\ \text{t/dia} e contém \,85\% de celulose (em massa seca). Então a massa de celulose no produto é
\text{celulose}_{\text{out}} = 1400\cdot 0{,}85 = 1190\\ \text{t/dia}.
  • Interpretação: precisamos fornecer ao processo, por dia, pelo menos \,1190\\ \text{t} de celulose presente nas toras (assumiremos que toda a celulose da alimentação vai parar na polpa, ou seja, recuperação de celulose ≈ 100\%; isso será anotado nas hipóteses).

Passo 3

Determinar a fração de celulose na madeira crua (base úmida) e calcular a massa total de madeira necessária por dia.
  • A madeira contém \,45\% de água (base úmida). Logo a fração de massa seca nas toras é
\text{fração seca} = 1 - 0{,}45 = 0{,}55.çã
  • A celulose é \,47\% da massa seca. Portanto a fração de celulose em relação à massa úmida é
\text{fração de celulose (úmida)} = 0{,}55\cdot 0{,}47 = 0{,}2585.çãú
Isto significa que cada tonelada de tora úmida contém 0{,}2585\\ \text{t} de celulose.
  • Para obter \,1190\\ \text{t/dia} de celulose precisamos de uma massa total de madeira (úmida) por dia igual a
\dot m_{\text{madeira}} = \frac{1190}{0{,}2585} \approx 4604{,}7\\ \text{t/dia}.
  • Comentário didático: aqui usei uma simples relação de balanço de massa para a celulose: massa de celulose na alimentação = massa de celulose no produto (hipótese de recuperação total).

Passo 4

Converter a vazão de massa total de madeira de \text{t/dia} para \text{t/min}.
  • Um dia tem 1440 minutos, então
\dot m_{\text{madeira}}^{\text{(min)}} = \frac{4604{,}7}{1440} \approx 3{,}197\\ \text{t/min}.
  • Interpretação: o processo precisa de cerca de 3{,}197 toneladas de toras por minuto.

Passo 5

Calcular o volume de uma tora (usando as dimensões dadas) — atenção às unidades.
  • Converter dimensões para metros:
    • Diâmetro =8\\ \text{polegadas} \Rightarrow em metros =8\cdot 0{,}0254 = 0{,}2032\\ \text{m}.
    • Raio r = 0{,}2032/2 = 0{,}1016\\ \text{m}.
    • Comprimento L = 7\\ \text{pés} \Rightarrow 7\cdot 0{,}3048 = 2{,}1336\\ \text{m}é.
  • Volume de um cilindro (tora aprox.): \,V=\pi r^{2}L\,. Então
V_{\text{tora}} = \pi (0{,}1016)^{2}\cdot 2{,}1336 \approx 0{,}06922\\ \text{m}^3.

Passo 6

Calcular a massa de uma tora usando a densidade relativa.
  • Densidade relativa \,0{,}64 significa densidade da madeira igual a 0{,}64 vezes a densidade da água. Usando \rho_{\text{água}}=1000\\ \text{kg/m}^3 = 1\\ \text{t/m}^3á, obtemos
\rho_{\text{madeira}} = 0{,}64\\ \text{t/m}^3.
(Obs.: isto é a massa por volume da tora tal como está; estamos assumindo que essa densidade corresponde à madeira úmida indicada no enunciado.)
  • Massa de uma tora:
m_{\text{tora}} = \rho_{\text{madeira}}\cdot V_{\text{tora}} = 0{,}64\cdot 0{,}06922 \approx 0{,}04430\\ \text{t/tora}.
Isto é, cada tora pesa aproximadamente 0{,}04430 toneladas (≈ 44{,}3\\ \text{kg}).

Passo 7

Calcular o número de toras por minuto necessários.
  • Número de toras por minuto:
\dot N = \frac{\dot m_{\text{madeira}}^{\text{(min)}}}{m_{\text{tora}}} = \frac{3{,}197}{0{,}04430} \approx 72{,}15\\ \text{toras/min}.
  • Arredondando razoavelmente (e lembrando das hipóteses), a alimentação necessária é cerca de 72 toras por minuto.

Passo 8

Hipóteses e comentários finais (para a prova: anote isto!)
  • Foi assumido que toda a celulose presente nas toras acaba na polpa seca ( 100\% de recuperação de celulose). Se houver perdas de celulose, a vazão de toras precisa ser maior.
  • A densidade relativa de 0{,}64 foi utilizada como densidade da tora úmida; em problemas reais pode haver diferenças entre densidade ao estado “verde” e densidade de madeira seca.
  • Arredondamentos foram feitos ao final; para cálculo de projeto use margens de segurança.

Resposta

72{,}2\\ \text{toras/min (aprox.)}

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