A reta r passa pelo ponto A(4,-3,-2) e é paralela à reta S: x= 1+3t y= 2-4t z=3-t. Se P(m,n,-5) pertence a r determinar m e n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre geometria analítica, mais especificamente sobre retas no espaço tridimensional. A gente tem que encontrar as coordenadas $ m $ e $ n $ de um ponto $ P(m, n, -5) $ que pertence a uma reta $ r $. Sabemos que a reta $ r $ passa pelo ponto $ A(4, -3, -2) $ e é paralela a outra reta $ S $, cujas equações paramétricas são:
m
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores direcionais e equações paramétricas de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a reta $ r $ é paralela à reta $ S $. Se duas retas são paralelas, isso significa que seus vetores diretores são múltiplos entre si. O vetor diretor de $ S $ pode ser obtido a partir dos coeficientes de $ t $ nas equações paramétricas de $ S $. Então, o vetor diretor de $ S $ é $ \vec{d_S} = (3, -4, -1) $.

Passo 3

Como $ r $ é paralela a $ S $, o vetor diretor de $ r $ será o mesmo de $ S $, ou seja, $ \vec{d_r} = (3, -4, -1) $. Agora, podemos escrever as equações paramétricas da reta $ r $. Sabemos que ela passa pelo ponto $ A(4, -3, -2) $, então as equações paramétricas de $ r $ são:
r

Passo 4

Agora, sabemos que o ponto $ P(m, n, -5) $ pertence à reta $ r $. Isso significa que as coordenadas de $ P $ devem satisfazer as equações paramétricas de $ r $. Então, vamos igualar as coordenadas correspondentes:
P(m, n, -5)
Vamos resolver a última equação para encontrar o valor de $ t $.

Passo 5

Resolvend o terceiro sistema:
-5 = -2 - t -5 + 2 = -t -3 = -t t = 3
Então, o valor de $ t $ é 3.

Passo 6

Agora que temos $ t = 3 $, vamos substituir esse valor nas equações para $ m $ e $ n $:
t = 3
m

Resposta

Os valores são $ m = 13 $ e $ n = -15 $.

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