(2,0 pontos) Pelo método dos coeficientes a determinar, resolva as EDOs:
3 y^prime prime+8 y^prime+6 y=x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. Esse método é ótimo para resolver EDOs lineares com termos do lado direito que são polinômios, exponenciais, senos ou cossenos. A gente precisa encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea, que é 3 r^2 + 8 r + 6 = 0. Para isso, encontramos a equação característica associada:
De
Vamos calcular o discriminante ( r = -8 pm raiz-82 cdot 3 = -8 pm 2iraiz26 = -43 pm iraiz23) para achar as raízes:
Como é negativo, as raízes são complexas e têm a forma:

Passo 3

Com as raízes complexas yh = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) ), a solução geral da equação homogênea é:
yh = e^-43x ( C1 cos(raiz23x) + C2 sin(raiz23x) )
Substituindo e , temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp = A x + B para a equação completa . O lado direito é um polinômio de primeiro grau, então assumimos que também seja um polinômio de primeiro grau:

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de yp' = A:
yp'' = 0
3(0) + 8(A) + 6(Ax + B) = x - 2
Substituindo 8A + 6Ax + 6B = x - 2, e na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondêntes dos dois lados da equação:
  • Coeficiente de 6A = 1 implies A = 16:
    8A + 6B = -2
  • Termo constante:
    8 cdot 16 + 6B = -2
    Substituindo 43 + 6B = -2:
    6B = -2 - 43 = -103
    B = -1018 = -59

Passo 7

Com os valores de yp = 16x - 59 e encontrados, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = e^-43x ( C1 cos(raiz23x) + C2 sin(raiz23x) ) + 16x - 59
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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