(2,0 pontos) Pelo método dos coeficientes a determinar, resolva as EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes a determinar. Esse método é ótimo para resolver EDOs lineares com termos do lado direito que são polinômios, exponenciais, senos ou cossenos. A gente precisa encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea, que é
. Para isso, encontramos a equação característica associada:
Vamos calcular o discriminante (
) para achar as raízes:
Como
é negativo, as raízes são complexas e têm a forma:
Passo 3
Com as raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
Substituindo
e
, temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. O lado direito é um polinômio de primeiro grau, então assumimos que
também seja um polinômio de primeiro grau:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondêntes dos dois lados da equação:
-
Coeficiente de
: -
Termo constante:Substituindo
:
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.