( 2,5 pontos) Mostre que a equação diferencial
\left(\cos x \sin x-x y^{2}\right) d x+y\left(1-x^{2}\right) d y=0
é exata e, em seguida, resolva-a com a condição inicial y(0)=2.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(\cos x \sin x - x y^{2}\right)\,dx + y\left(1-x^{2}\right)\,dy = 0
e a condição inicial y(0)=2.
O que pede:
  • Mostrar que a equação é exata.
  • Resolver a equação obedecendo a condição inicial.
Informações úteis que extraí do enunciado:
  • Podemos identificar M(x,y) e N(x,y) tal que a equação está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
  • Aqui
M(x,y)=\cos x \sin x - x y^{2}, \qquad N(x,y)=y(1-x^{2}).

Passo 2

Conceito curto e passo a passo para testar exatidão (sem pular etapas):
  • Uma equação da forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata em uma região quando existe uma função \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N.
  • Uma condição prática (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Calcule \partial M/\partial y:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(\cos x \sin x - x y^{2}\big) = - x\cdot 2y = -2xy.
Calcule \partial N/\partial x:
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(y(1-x^{2})\big) = y\cdot(-2x) = -2xy.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y} = -2xy = \dfrac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata (em qualquer região onde M,N e suas derivadas parciais são contínuas, por exemplo para todos x,y reais).

Passo 3

Método para resolver uma equação exata (passo a passo e com explicação didática):
  • Se a equação é exata, existe \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N.
  • Para encontrar \Phi: integrar M em relação a x (tratando y como constante) e adicionar uma função arbitrária h(y) (pois a derivada em x de h(y) é zero).
Integração de M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int \big(\cos x \sin x - x y^{2}\big)\,dx.
Separe as integrais:
\int \cos x \sin x\,dx \quad\text{e}\quad \int x y^{2}\,dx.
Calcule a primeira integral: faça u=\sin x então du=\cos x\,dx. Assim
\int \cos x \sin x\,dx = \int u\,du = \frac{u^{2}}{2} = \frac{\sin^{2}x}{2}.
Calcule a segunda integral (lembre que y é tratado como constante ao integrar em x):
\int x y^{2}\,dx = y^{2}\int x\,dx = y^{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}y^{2}}{2}.
Portanto, integrando M em x obtemos
\Phi(x,y)=\frac{\sin^{2}x}{2} - \frac{x^{2}y^{2}}{2} + h(y),
onde h(y) é uma função que depende só de y (ainda desconhecida).

Passo 4

Determinar h(y) comparando \Phi_{y} com N:
  • Calcule \Phi_{y} a partir da expressão encontrada:
\Phi_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\sin^{2}x}{2} - \frac{x^{2}y^{2}}{2} + h(y)\right) = -\frac{x^{2}\cdot 2y}{2} + h'(y) = -x^{2}y + h'(y).
  • Pela exatidão deve valer \Phi_{y}=N. Lembre que N(x,y)=y(1-x^{2})=y - x^{2}y.
  • Igualando:
-x^{2}y + h'(y) = y - x^{2}y.
  • Cancelam-se os termos -x^{2}y dos dois lados, restando
h'(y)=y.
  • Integre h'(y):
h(y)=\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + C,
onde C é constante. (Podemos adiar essa constante final para a constante global da solução implícita.)

Passo 5

Escrever a função potencial \Phi completa e a solução implícita:
  • Substituindo h(y) em \Phi:
\Phi(x,y)=\frac{\sin^{2}x}{2} - \frac{x^{2}y^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C.
  • A solução geral implícita da equação exata é \Phi(x,y)= constante. Podemos multiplicar por 2 para simplificar e absorver 2C em uma nova constante C':
\sin^{2}x - x^{2}y^{2} + y^{2} = C'.
  • Reescrevendo de forma mais organizada:
y^{2}(1-x^{2}) + \sin^{2}x = C'.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(0)=2 para determinar a constante e obter a solução explícita:
  • Avalie a solução implícita em x=0 e y(0)=2. Como \sin 0 = 0,
y(0)^{2}(1-0^{2}) + \sin^{2}0 = C' \quad\Rightarrow\quad 2^{2}\cdot 1 + 0 = C'.
Logo C' = 4.
  • Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
y^{2}(1-x^{2}) + \sin^{2}x = 4.
  • Isolando y (para obter solução explícita): primeiro obter y^{2}:
y^{2} = \frac{4 - \sin^{2}x}{1-x^{2}}.
  • Tomando raiz quadrada: há duas escolhas de sinal, y=\pm\sqrt{\dfrac{4-\sin^{2}x}{1-x^{2}}}. Como a condição inicial dá y(0)=2>0, escolhemos o ramo positivo perto de x=0. Portanto
y(x)=\sqrt{\frac{4-\sin^{2}x}{1-x^{2}}}.
  • Observação sobre domínio: perto de x=0 temos 1-x^{2}>0, e 4-\sin^{2}x>0, então a expressão sob a raiz é positiva para |x|<1 (pelo menos nessa vizinhança). A solução explícita com a condição inicial é, portanto, a raiz positiva da expressão acima em uma vizinhança de x=0.

Resposta

\displaystyle y(x)=\sqrt{\frac{4-\sin^{2}x}{1-x^{2}}} (escolhendo o sinal positivo para satisfazer y(0)=2, válido ao menos para |x|<1).

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