( 2,5 pontos) Mostre que a equação diferencial
é exata e, em seguida, resolva-a com a condição inicial
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e a condição inicial
.
O que pede:
O que pede:
- Mostrar que a equação é exata.
- Resolver a equação obedecendo a condição inicial.
Informações úteis que extraí do enunciado:
- Podemos identificar
e tal que a equação está na forma . - Aqui
Passo 2
Conceito curto e passo a passo para testar exatidão (sem pular etapas):
- Uma equação da forma
é exata em uma região quando existe uma função tal que e . - Uma condição prática (quando
e têm derivadas parciais contínuas) é verificar se
Calcule
:
Calcule
:
Como
, a equação é exata (em qualquer região onde
e suas derivadas parciais são contínuas, por exemplo para todos
reais).
Passo 3
Método para resolver uma equação exata (passo a passo e com explicação didática):
- Se a equação é exata, existe
tal que e . - Para encontrar
: integrar em relação a (tratando como constante) e adicionar uma função arbitrária (pois a derivada em de é zero).
Integração de
em relação a
:
Separe as integrais:
Calcule a primeira integral: faça
então
. Assim
Calcule a segunda integral (lembre que
é tratado como constante ao integrar em
):
Portanto, integrando
em
obtemos
onde
é uma função que depende só de
(ainda desconhecida).
Passo 4
Determinar
comparando
com
:
- Calcule
a partir da expressão encontrada:
- Pela exatidão deve valer
. Lembre que . - Igualando:
- Cancelam-se os termos
dos dois lados, restando
- Integre
:
onde
é constante. (Podemos adiar essa constante final para a constante global da solução implícita.)
Passo 5
Escrever a função potencial
completa e a solução implícita:
- Substituindo
em :
- A solução geral implícita da equação exata é
constante. Podemos multiplicar por 2 para simplificar e absorver em uma nova constante :
- Reescrevendo de forma mais organizada:
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar a constante e obter a solução explícita:
- Avalie a solução implícita em
e . Como ,
Logo
.
- Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
- Isolando
(para obter solução explícita): primeiro obter :
- Tomando raiz quadrada: há duas escolhas de sinal,
. Como a condição inicial dá , escolhemos o ramo positivo perto de . Portanto
- Observação sobre domínio: perto de
temos , e , então a expressão sob a raiz é positiva para (pelo menos nessa vizinhança). A solução explícita com a condição inicial é, portanto, a raiz positiva da expressão acima em uma vizinhança de .