(2,0 pontos) Mostre que, se x for um autovetor associado ao autovalor \lambda \in \mathbb{C} de uma matriz real A, então \bar{x} será um autovetor associado ao autovalor \bar{\lambda}.

Passo 1

O enunciado afirma que A é uma matriz real, que x\in\mathbb{C}^n\setminus\{0\} é autovetor de A associado ao autovalor \lambda\in\mathbb{C}, isto é,
A\,x = \lambda\,x.
Queremos mostrar que o vetor conjugado \overline{x} é autovetor de A associado ao autovalor \overline{\lambda}. Para isso vamos usar as propriedades da conjugação complexa e o fato de A ter entradas reais.

Passo 2

Começamos aplicando conjugação complexa à igualdade A\,x = \lambda\,x. Assim,
\overline{A\,x} \;=\;\overline{\lambda\,x}.

Passo 3

Usamos que a conjugação distribui sobre produto e soma, e que, por A ser real, \overline{A} = A (conjugação entrywise deixa todas as entradas inalteradas). Logo,
\overline{A\,x} \;=\;\overline{A}\;\overline{x} \;=\;A\,\overline{x}, \quad \overline{\lambda\,x} \;=\;\overline{\lambda}\;\overline{x}.
Substituindo em \overline{A\,x} = \overline{\lambda\,x}, obtemos
A\,\overline{x} \;=\;\overline{\lambda}\,\overline{x}.

Passo 4

Como x\neq0, o seu conjugado \overline{x} também não é o vetor nulo. Da igualdade
A\,\overline{x} = \overline{\lambda}\,\overline{x}
vemos que \overline{x} é autovetor de A associado ao autovalor \overline{\lambda}.

Resposta

Ficou demonstrado que, se A\,x = \lambda\,x com A real, então
A\,\overline{x} = \overline{\lambda}\,\overline{x},
ou seja, \overline{x} é autovetor de A para o autovalor \overline{\lambda}.

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