(2,0 pontos) Mostre que, se x for um autovetor associado ao autovalor \lambda \in \mathbb{C} de uma matriz real A, então \bar{x} será um autovetor associado ao autovalor \bar{\lambda}.
Passo 1
O enunciado afirma que A é uma matriz real, que x\in\mathbb{C}^n\setminus\{0\} é autovetor de A associado ao autovalor \lambda\in\mathbb{C}, isto é,
A\,x = \lambda\,x.
Queremos mostrar que o vetor conjugado \overline{x} é autovetor de A associado ao autovalor \overline{\lambda}. Para isso vamos usar as propriedades da conjugação complexa e o fato de A ter entradas reais.
Passo 2
Começamos aplicando conjugação complexa à igualdade A\,x = \lambda\,x. Assim,
\overline{A\,x} \;=\;\overline{\lambda\,x}.
Passo 3
Usamos que a conjugação distribui sobre produto e soma, e que, por A ser real, \overline{A} = A (conjugação entrywise deixa todas as entradas inalteradas). Logo,