(3,0 Pontos) Muitas variedades de lasers emitem luz na forma de pulsos em vez de um feixe continuo. Um laser de telúrio-safira pode produzir luz a um comprimento de onda de 800 nm em pulsos ultracurtos que duram apenas 4,00 \times 10^{-15} \mathrm{~s}. A energia em um único pulso produzido por um laser desse tipo é de 2,00 \mu, e os pulsos se propagam na direção positiva de x. Determine
a) (0,5 Ponto) A frequéncia da luz;
b) (0,5 Ponto) A energia e a incerteza minima da energia de um único fóton no pulso;
c) (0,5 Ponto) A incerteza minima da frequência da luz no pulso;
d) (0,5 Ponto) 0 comprimento deste pulso medido em comprimentos de onda;
o)
( 0,5 Ponto) o momento linear e a incerteza minima do momento linear de um único fóton no pulso
(0,5 Ponto) O número aproximado de fótons no pulso.
\lambda=\frac{x}{f}=\frac{3,10^{8}}{3,610^{6}}=200 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado descreve um laser de tálio-safira que emite luz com comprimento de onda \lambda = 800\,\mathrm{nm} em pulsos de duração \Delta t = 4,00\times10^{-15}\,\mathrm{s} e energia por pulso E_{\rm pulso}=2,00\,\mu\mathrm{J}. Precisamos calcular:
a) a frequência f da luz;
b) a energia de um fóton E_{\rm f} e sua incerteza mínima \Delta E;
c) a incerteza mínima da frequência \Delta f;
d) o comprimento do pulso em número de comprimentos de onda;
e) o momento linear p de um fóton e sua incerteza mínima \Delta p;
f) o número aproximado de fótons no pulso.
Para isso usaremos as relações \displaystyle c=\lambda f, \displaystyle E_{\rm f}=h\,f, o princípio de incerteza tempo-energia \Delta E\,\Delta t\ge\hbar/2, e para fótons E=pc.

Passo 2

Para encontrar a frequência usamos
f=\frac{c}{\lambda} =\frac{3,00\times10^{8}\,\mathrm{m/s}}{800\times10^{-9}\,\mathrm{m}} =3,75\times10^{14}\,\mathrm{Hz}.

Passo 3

A energia de um único fóton é
E_{\rm f}=h\,f =6,626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}\times3,75\times10^{14}\,\mathrm{Hz} =2,48\times10^{-19}\,\mathrm{J}.
A incerteza mínima em energia, pelo princípio \Delta E\,\Delta t\ge\hbar/2, é
\Delta E_{\min}=\frac{\hbar}{2\,\Delta t} =\frac{h}{4\pi\,\Delta t} =\frac{6,626\times10^{-34}}{4\pi\times4,00\times10^{-15}} =1,32\times10^{-20}\,\mathrm{J}.

Passo 4

Como \Delta E=h\,\Delta f, a incerteza mínima de frequência é
\Delta f_{\min}=\frac{\Delta E_{\min}}{h} =\frac{1,32\times10^{-20}}{6,626\times10^{-34}} =1,99\times10^{13}\,\mathrm{Hz}.

Passo 5

O comprimento espacial do pulso vale
L=c\,\Delta t =3,00\times10^{8}\,\mathrm{m/s}\times4,00\times10^{-15}\,\mathrm{s} =1,20\times10^{-6}\,\mathrm{m}.
Em comprimentos de onda,
\frac{L}{\lambda} =\frac{1,20\times10^{-6}}{800\times10^{-9}} =1,50\quad\text{comprimentos de onda}.

Passo 6

Para um fóton E=pc, logo o momento linear é
p=\frac{E_{\rm f}}{c} =\frac{2,48\times10^{-19}}{3,00\times10^{8}} =8,28\times10^{-28}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
A incerteza mínima em p segue de \Delta p=\Delta E/c:
\Delta p_{\min} =\frac{1,32\times10^{-20}}{3,00\times10^{8}} =4,39\times10^{-29}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 7

O número aproximado de fótons no pulso é
N=\frac{E_{\rm pulso}}{E_{\rm f}} =\frac{2,00\times10^{-6}\,\mathrm{J}}{2,48\times10^{-19}\,\mathrm{J}} =8,05\times10^{12}.

Resposta

(a) f=3,75\times10^{14}\,\mathrm{Hz}.
(b) E_{\rm f}=2,48\times10^{-19}\,\mathrm{J},\;\Delta E_{\min}=1,32\times10^{-20}\,\mathrm{J}.
(c) \Delta f_{\min}=1,99\times10^{13}\,\mathrm{Hz}.
(d) L/\lambda=1,50 comprimentos de onda.
(e) p=8,28\times10^{-28}\,\mathrm{kg\cdot m/s},\;\Delta p_{\min}=4,39\times10^{-29}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
(f) N\approx8,05\times10^{12} fótons.

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