Problema 1.8 Os cientistas ainda não têm certeza se o universo é aberto (o que significa que continuará se expandindo para sempre) ou fechado (o que significa que eventualmente ele voltará a si mesmo em um “Big Crunch”). O que determina se ele está aberto ou fechado é basicamente a mesma coisa que calculamos para determinar as velocidades de escape. Suponha que o universo tem uma densidade uniforme
. Então a massa contido em algum volume esférico de espaço de raio
é
. Modele uma galáxia localizada na borda deste volume esférico como um partícula e considere sua energia. De acordo com a lei de Hubble, a velocidade desta galáxia é
, onde
é chamada de constante de Hubble. (a) Qual é a densidade máxima do universo de tal forma que ele não fecha? (b) A atual estimativa da densidade do universo é de
, incluindo cerca de
de matéria escura, que é matéria que não podemos observar diretamente, e
de energia escura, outro constituinte que não é diretamente observável. Tanto a matéria escura quanto a energia escura contribuem com a gravidade, e portanto são incluídos neste valor da densidade. Compare este valor com o seu resultado e discuta que diferença faria se não houvesse matéria escura no universo.
Passo 1
O enunciado considera um universo de densidade uniforme
e pede que modelemos uma galáxia na borda de uma esfera de raio
como uma partícula de massa
. Pela lei de Hubble, sua velocidade é
. Vamos usar o conceito de energia total (cinética mais potencial gravitacional) para achar a densidade crítica que separa universo aberto (energia total não negativa) de fechado (energia total negativa).
Passo 2
A energia cinética da galáxia é
e a energia gravitacional (potencial) devido à massa interna
é
No caso crítico, a energia total
fica igual a zero.
Passo 3
Impondo
e dividindo por
, obtemos
Cancelando
em ambos os lados e isolando
, vem
Passo 4
Agora é só substituir valores numéricos:
Logo
Passo 5
A densidade atual estimada do universo é
,
o que é um pouco maior que . Isso sugere, no nosso modelo simplificado, um universo ligeiramente “fechado” (energia total negativa).
Se não houvesse matéria escura, removeríamos 25% deste valor, ficando
o que é um pouco maior que
Se não houvesse matéria escura, removeríamos 25% deste valor, ficando
que é menor que
. Nesse caso, teríamos energia total positiva e, portanto, um universo “aberto” que continuaria a se expandir para sempre.
Resposta
(a)
.
(b) A densidade atual é maior que
, mas sem matéria escura cairia para
, abaixo de
, tornando o universo aberto.
(b) A densidade atual