Problema 1.8 Os cientistas ainda não têm certeza se o universo é aberto (o que significa que continuará se expandindo para sempre) ou fechado (o que significa que eventualmente ele voltará a si mesmo em um “Big Crunch”). O que determina se ele está aberto ou fechado é basicamente a mesma coisa que calculamos para determinar as velocidades de escape. Suponha que o universo tem uma densidade uniforme \rho. Então a massa contido em algum volume esférico de espaço de raio R é 4 / 3 \pi R^{3} \rho. Modele uma galáxia localizada na borda deste volume esférico como um partícula e considere sua energia. De acordo com a lei de Hubble, a velocidade desta galáxia é H R, onde H=2,210^{-18} \mathrm{~s}^{-1} é chamada de constante de Hubble. (a) Qual é a densidade máxima do universo de tal forma que ele não fecha? (b) A atual estimativa da densidade do universo é de 10^{-26} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, incluindo cerca de 25 \% de matéria escura, que é matéria que não podemos observar diretamente, e 70 \% de energia escura, outro constituinte que não é diretamente observável. Tanto a matéria escura quanto a energia escura contribuem com a gravidade, e portanto são incluídos neste valor da densidade. Compare este valor com o seu resultado e discuta que diferença faria se não houvesse matéria escura no universo.

Passo 1

O enunciado considera um universo de densidade uniforme \rho e pede que modelemos uma galáxia na borda de uma esfera de raio R como uma partícula de massa m. Pela lei de Hubble, sua velocidade é v=H\,R. Vamos usar o conceito de energia total (cinética mais potencial gravitacional) para achar a densidade crítica que separa universo aberto (energia total não negativa) de fechado (energia total negativa).

Passo 2

A energia cinética da galáxia é
K = \frac12\,m\,(H R)^{2}
e a energia gravitacional (potencial) devido à massa interna M=(4/3)\pi R^{3}\rho é
U = -\,\frac{G\,m\,M}{R} = -\,\frac{G\,m}{R}\,\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho = -\,\frac{4\pi G}{3}\,m\,R^{2}\,\rho.
No caso crítico, a energia total E=K+U fica igual a zero.

Passo 3

Impondo K+U=0 e dividindo por m, obtemos
\frac12 H^{2}R^{2} = \frac{4\pi G}{3}R^{2}\rho_{\rm c}.
Cancelando R^{2} em ambos os lados e isolando \rho_{\rm c}, vem
\rho_{\rm c} = \frac{3\,H^{2}}{8\pi G}.

Passo 4

Agora é só substituir valores numéricos:
H = 2{,}2\times10^{-18}\,\text{s}^{-1}, \quad G = 6{,}67\times10^{-11}\,\text{m}^{3}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{s}^{-2}.
Logo
\rho_{\rm c} = \frac{3\,(2{,}2\times10^{-18})^{2}}{8\pi\,(6{,}67\times10^{-11})} \approx 8{,}7\times10^{-27}\,\text{kg/m}^{3}.

Passo 5

A densidade atual estimada do universo é \rho_{\rm atual}=10^{-26}\,\text{kg/m}^{3},
o que é um pouco maior que \rho_{\rm c}. Isso sugere, no nosso modelo simplificado, um universo ligeiramente “fechado” (energia total negativa).
Se não houvesse matéria escura, removeríamos 25% deste valor, ficando
\rho_{\rm sem\,DM}=0{,}75\times10^{-26}=7{,}5\times10^{-27}\,\text{kg/m}^{3},
que é menor que \rho_{\rm c}. Nesse caso, teríamos energia total positiva e, portanto, um universo “aberto” que continuaria a se expandir para sempre.

Resposta

(a) \displaystyle \rho_{\rm c}=\frac{3H^{2}}{8\pi G}\approx8{,}7\times10^{-27}\,\mathrm{kg/m^{3}}.
(b) A densidade atual 10^{-26}\,\mathrm{kg/m^{3}} é maior que \rho_{\rm c}, mas sem matéria escura cairia para 7,5\times10^{-27}, abaixo de \rho_{\rm c}, tornando o universo aberto.

Exercícios relacionados