(2 pontos) Notas DeAulas [2025]
(a) Sabendo que lim x 0 sen(x)x=1 calcule o seguinte limite: lim x pi-(x+pi) sen(x)x-pi
(b) Use o resultado do item (a) para determinar o valor de
lim x pi-(x^2-pi^2) raiz1-cos ^2(x)(x-pi)^2

Passo 1

O enunciado pede dois limites quando xtopi. No item (a) temos um quociente do tipo tfrac00 envolvendo sin(x), então vamos usar a mudança de variável t=x-pi e a identidade limuto0tfracsin uu=1. No item (b) aparece raiz1-cos^2(x), que sabemos ser lvertsin xrvert, e ainda precisamos fatorar x^2-pi^2. Depois, usaremos o resultado do item (a).

Passo 2

Definindo t = x-pi, temos x = pi + t e tto0. Além disso
sin(x)=sin(pi+t)=-sin t
O limite do item (a) fica então
limxtopi-(x+pi)sin(x)x-pi =limtto0-(pi+t+pi)(-sin t)t =limtto0(2pi+t),sin tt

Passo 3

Usando limtto0tfracsin tt=1 e que 2pi+tto2pi, obtemos
limtto0(2pi+t),sin tt =2picdot1 =2pi
Logo, o resultado do item (a) é 2pi.

Passo 4

No item (b) note que
raiz1-cos^2(x)=lvertsin xrvert,
e perto de x=pi, sin x<0, logo lvertsin xrvert=-sin x. Também
x^2-pi^2=(x-pi)(x+pi)
Assim o limite fica
limxtopi-(x^2-pi^2),lvertsin xrvert(x-pi)^2 =-limxtopi(x-pi)(x+pi)(-,sin x)(x-pi)^2 =limxtopi(x+pi)sin xx-pi

Passo 5

Mas
(x+pi)sin xx-pi =-l[-(x+pi)sin xx-pir],
e já sabemos do item (a) que
limxtopi-(x+pi)sin xx-pi=2pi.
Portanto
limxtopi(x+pi)sin xx-pi=-2pi

Resposta

(a) 2pi
(b) -2pi

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