(2 pontos) NotasDeAulas [2024] Diagonalize o operador linear dado por
.
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar o operador linear
definido por
definido por
O conteúdo envolvido é diagonalização de um operador linear, ou seja, achar valores próprios
e vetores próprios não nulos
tais que
e montar uma base de vetores próprios que transforme a matriz de
numa matriz diagonal.
Passo 2
Na base canônica
,
, a matriz de
é
Para diagonalizar, vamos calcular o polinômio característico
.
Passo 3
O polinômio característico é
Resolvendo
obtemos
Passo 4
Para
, resolvemos
o que dá
, isto é,
.
Um vetor próprio não nulo é
Um vetor próprio não nulo é
Passo 5
Para
, resolvemos
o que dá
, isto é,
.
Um vetor próprio não nulo é
Um vetor próprio não nulo é
Passo 6
Tomando a matriz
cujas colunas são
e
, temos
cujo determinante é
, logo
é invertível.
Calculando
Calculando
vemos que
ou seja, a matriz de
na base de vetores próprios é diagonal.
Resposta
A diagonalização é dada por