(2 pontos) NotasDeAulas [2024] Diagonalize o operador linear dado por T: R^2 R^2 com T(x, y)=(4 x+y, x+4 y).

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar o operador linear
;TcolonR^2toR^2
definido por
T(x,y) = (4x + y,;x + 4y)
O conteúdo envolvido é diagonalização de um operador linear, ou seja, achar valores próprios lambda e vetores próprios não nulos v tais que
T(v)=lambda v,
e montar uma base de vetores próprios que transforme a matriz de T numa matriz diagonal.

Passo 2

Na base canônica e1=(1,0), e2=(0,1), a matriz de T é
A = 4 & 11 & 4
Para diagonalizar, vamos calcular o polinômio característico det(A-lambda I).

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det4-lambda & 11 & 4-lambda =(4-lambda)^2 - 1
Resolvendo (4-lambda)^2 - 1 = 0 obtemos
(4-lambda)^2 = 1 Longrightarrow 4-lambda = pm1 Longrightarrow lambda1=5,;lambda2=3

Passo 4

Para , resolvemos
o que dá , isto é, .
Um vetor próprio não nulo é

Passo 5

Para , resolvemos
o que dá , isto é, .
Um vetor próprio não nulo é

Passo 6

Tomando a matriz P cujas colunas são v1 e v2, temos
P = 1 & 11 & -1,
cujo determinante é det P = -2neq0, logo P é invertível.
Calculando
P^-1 =1det P -1 & -1-1 & 1 =tfrac12 & tfrac12tfrac12 & -tfrac12,
vemos que
P^-1AP =5 & 00 & 3,
ou seja, a matriz de T na base de vetores próprios é diagonal.

Resposta

A diagonalização é dada por
P = 1 & 11 & -1, P^-1AP = 5 & 00 & 3

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