( 5,0 pontos) Obtenha o valor da velocidade terminal de microesfera de vidro que apresenta massa especifica de 2,43 g / cm^3 e diâmetro igual a 250 mu m que cai em água a 30^circ C. Após encontrar o valor da velocidade terminal avalie o efeito da presença do diâmetro da tubulação de um transportador hidráulico com diâmetro igual 3,0 cm e quando a fração volumétrica de sólidos ( cv ) for igual a 0,00184 ( 0,00184 cm^3 / cm^3 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão pede pra gente achar a velocidade terminal de uma microesfera de vidro (densidade 2,43 g/cm³, diâmetro 250 µm) caindo em água a 30 °C e depois ver como essa velocidade muda se ela cai dentro de um tubo de 3,0 cm de diâmetro com uma fração volumétrica de sólidos . Isso é um problema de mecânica dos fluidos envolvendo arrasto em regime de Stokes e depois efeitos de queda dificultada (hindered settling) e de parede (wall effect). Vamos precisar:
• Densidade da água a 30 °C (aprox. )
• Viscosidade da água a 30 °C ( )
• Fórmula de Stokes para velocidade terminal
• Correção de Richardson–Zaki para queda dificultada
• Fórmula de correção de parede pra esfera confinado num tubo

Passo 2

Calcular a velocidade terminal em fluido perfeito (Stokes).
A fórmula é
vt = (rhop - rhof),g,d^218,mu
onde
,
,
,
,
.
Passo a passo:
  1. .
  2. .
  3. Numerador = .
  4. Denominador = .
  5. (≈ 6,1 cm/s).

Passo 3

Cheque rápido o número de Reynolds pra ver se Stokes vale:
Re = rhof,vt,dmu = 995,7times0,061times2,5times10^-48,0times10^-4 approx19
Re≈19 é meio no limite de Stokes, mas como o exercício não pede iteração com lei geral de arrasto, a gente segue com esse resultado.

Passo 4

Agora aplicamos a queda dificultada (hindered settling) com a correção de Richardson–Zaki:
vh = vt,(1 - cv)^n
Para esferas em regime laminar costuma-se usar vh = 0,061,(1 - 0,00184)^4,65 approx0,061times0,9915 approx0,0605;m/s .
Ou seja, cair num “fluido” com 0,184 % de sólidos reduz a velocidade só pra 6,05 cm/s.

Passo 5

Por fim, corrigimos o efeito de parede (tubo de diâmetro vrm conf = vhl[1 - 2,104l(tfracdDr) +2,09l(tfracdDr)^3 -0,95l(tfracdDr)^5r] ). A fórmula aproximada é
vrm confapprox0,0605times(1 - 0,0175) approx0,0595;m/s
Aqui .
Só o termo linear já dá ~ , então

Resposta

A velocidade terminal da microesfera em água pura a 30 °C é cerca de
vtapprox0,061;m/s
Com fração volumétrica vrm confapprox0,0595;m/s dentro de um tubo de 3,0 cm, a velocidade cai para
Ou seja, o efeito combinado da suspensão e da parede reduz a queda em torno de 2,5 %.

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