( 5,0 pontos) Obtenha o valor da velocidade terminal de microesfera de vidro que apresenta massa especifica de
e diâmetro igual a
que cai em água a
. Após encontrar o valor da velocidade terminal avalie o efeito da presença do diâmetro da tubulação de um transportador hidráulico com diâmetro igual
e quando a fração volumétrica de sólidos (
) for igual a 0,00184 (
).
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão pede pra gente achar a velocidade terminal de uma microesfera de vidro (densidade 2,43 g/cm³, diâmetro 250 µm) caindo em água a 30 °C e depois ver como essa velocidade muda se ela cai dentro de um tubo de 3,0 cm de diâmetro com uma fração volumétrica de sólidos
. Isso é um problema de mecânica dos fluidos envolvendo arrasto em regime de Stokes e depois efeitos de queda dificultada (hindered settling) e de parede (wall effect). Vamos precisar:
• Densidade da água a 30 °C (aprox. )
• Viscosidade da água a 30 °C ( )
• Fórmula de Stokes para velocidade terminal
• Correção de Richardson–Zaki para queda dificultada
• Fórmula de correção de parede pra esfera confinado num tubo
• Densidade da água a 30 °C (aprox.
• Viscosidade da água a 30 °C (
• Fórmula de Stokes para velocidade terminal
• Correção de Richardson–Zaki para queda dificultada
• Fórmula de correção de parede pra esfera confinado num tubo
Passo 2
Calcular a velocidade terminal em fluido perfeito (Stokes).
A fórmula é
A fórmula é
onde
,
,
,
,
.
Passo a passo:
-
. -
. - Numerador =
. - Denominador =
. -
(≈ 6,1 cm/s).
Passo 3
Cheque rápido o número de Reynolds pra ver se Stokes vale:
Re≈19 é meio no limite de Stokes, mas como o exercício não pede iteração com lei geral de arrasto, a gente segue com esse resultado.
Passo 4
Agora aplicamos a queda dificultada (hindered settling) com a correção de Richardson–Zaki:
Para esferas em regime laminar costuma-se usar
.
Ou seja, cair num “fluido” com 0,184 % de sólidos reduz a velocidade só pra 6,05 cm/s.
Passo 5
Por fim, corrigimos o efeito de parede (tubo de diâmetro
). A fórmula aproximada é
Aqui
.
Só o termo linear já dá ~ , então
Só o termo linear já dá ~
Resposta
A velocidade terminal da microesfera em água pura a 30 °C é cerca de
Com fração volumétrica
dentro de um tubo de 3,0 cm, a velocidade cai para
Ou seja, o efeito combinado da suspensão e da parede reduz a queda em torno de 2,5 %.