( 2,0 pontos) A a orientação da antena UHF em relação à câmera pode ser interpretada como equivalente a duas rotações consecutivas, partindo do referencial
, de
em torno de z , seguida de
em torno de
seguida de
. Expresse estas duas rotações através de quatérnios unitários equivalentes
. A partir destes quatérnios, encontre o quatérnio unitário equivalente
que descreve a orientação da antena
em relação à câmera
. Encontre a representação ângulo-eixo equivalente a este quatérnio, apresentando as duas soluções possíveis.
Passo 1
O enunciado pede para expressar duas rotações sucessivas, de
em torno de
e depois de
em torno de
, como quatérnios unitários
e
. Em seguida devemos compor esses quatérnios para obter
, que descreve a orientação final da antena
em relação à câmera
. Por fim, vamos converter esse quatérnio em representação ângulo–eixo, exibindo as duas soluções possíveis.
Passo 2
Para uma rotação ativa de ângulo
em torno de um eixo unitário
o quatérnio unitário é
No caso de
temos
e
. Para rotações em torno de
e
:
Passo 3
A composição de rotações primeiro em
e depois em
corresponde ao produto de quatérnios
Sejam
e
. Então
Com
,
,
, obtemos
Logo
Passo 4
Para converter o quatérnio
em forma ângulo–eixo usamos
Aqui
implica
e
. Assim
Passo 5
A representação ângulo–eixo tem duas soluções equivalentes, pois
descrevem a mesma rotação. Portanto:
(1) ,
.
(2) ,
.
(1)
(2)
Resposta
Ângulo–eixo equivalente:
(1)
(2)
(1)
(2)