( 2,0 pontos) A a orientação da antena UHF em relação à câmera pode ser interpretada como equivalente a duas rotações consecutivas, partindo do referencial \{\mathrm{C}\}, de 90^{\circ} em torno de z , seguida de 90^{\circ} em torno de \mathrm{x}: \mathrm{R}_{\mathrm{z}}\left(\mathrm{z}, 90^{\circ}\right) seguida de \mathrm{R}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}, 90^{\circ}\right). Expresse estas duas rotações através de quatérnios unitários equivalentes \mathrm{Q}_{\mathrm{z}}, \mathrm{Q}_{\mathrm{x}}. A partir destes quatérnios, encontre o quatérnio unitário equivalente { }^{\mathrm{C}} \mathrm{Q}_{\mathrm{A}} que descreve a orientação da antena \{\mathrm{A}\} em relação à câmera \{\mathrm{C}\}. Encontre a representação ângulo-eixo equivalente a este quatérnio, apresentando as duas soluções possíveis.

Passo 1

O enunciado pede para expressar duas rotações sucessivas, de 90^\circ em torno de z e depois de 90^\circ em torno de x, como quatérnios unitários \mathrm{Q}_z e \mathrm{Q}_x. Em seguida devemos compor esses quatérnios para obter {}^{\mathrm{C}}Q_{\mathrm{A}}, que descreve a orientação final da antena \{\mathrm{A}\} em relação à câmera \{\mathrm{C}\}. Por fim, vamos converter esse quatérnio em representação ângulo–eixo, exibindo as duas soluções possíveis.

Passo 2

Para uma rotação ativa de ângulo \theta em torno de um eixo unitário \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) o quatérnio unitário é
q = \bigl(\cos(\tfrac{\theta}{2}),\,\sin(\tfrac{\theta}{2})\,u_x,\,\sin(\tfrac{\theta}{2})\,u_y,\,\sin(\tfrac{\theta}{2})\,u_z\bigr).
No caso de \theta=90^\circ temos \cos(45^\circ)=\tfrac{\sqrt2}{2} e \sin(45^\circ)=\tfrac{\sqrt2}{2}. Para rotações em torno de z e x:
\mathrm{Q}_z = \bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\,0,\,0,\,\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr), \qquad \mathrm{Q}_x = \bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\,\tfrac{\sqrt2}{2},\,0,\,0\bigr).

Passo 3

A composição de rotações primeiro em z e depois em x corresponde ao produto de quatérnios
{}^{\mathrm{C}}Q_{\mathrm{A}} = \mathrm{Q}_x \otimes \mathrm{Q}_z.
Sejam \mathrm{Q}_x=(w_1,\mathbf{v}_1) e \mathrm{Q}_z=(w_2,\mathbf{v}_2). Então
w = w_1w_2 - \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2, \quad \mathbf{v} = w_1\mathbf{v}_2 + w_2\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2.
Com w_1=w_2=\tfrac{\sqrt2}{2}, \mathbf{v}_1=(\tfrac{\sqrt2}{2},0,0), \mathbf{v}_2=(0,0,\tfrac{\sqrt2}{2}), obtemos
w = \tfrac12, \quad \mathbf{v} = \bigl(\tfrac12,\,-\tfrac12,\,\tfrac12\bigr).
Logo
{}^{\mathrm{C}}Q_{\mathrm{A}} = \Bigl(\tfrac12,\,\tfrac12,\,-\tfrac12,\,\tfrac12\Bigr).

Passo 4

Para converter o quatérnio q=(w,v_x,v_y,v_z) em forma ângulo–eixo usamos
\theta = 2\operatorname{arccos}(w), \qquad \mathbf{u} = \frac{1}{\sin(\theta/2)}(v_x,v_y,v_z).
Aqui w=\tfrac12 implica \theta = 2\operatorname{arccos}(\tfrac12)=2\cdot60^\circ=120^\circ e \sin(60^\circ)=\tfrac{\sqrt3}{2}. Assim
\mathbf{u} = \frac{1}{\tfrac{\sqrt3}{2}}\bigl(\tfrac12,\,-\tfrac12,\,\tfrac12\bigr) = \frac{1}{\sqrt3}(1,\,-1,\,1).

Passo 5

A representação ângulo–eixo tem duas soluções equivalentes, pois
(\theta,\mathbf{u}) \quad\text{e}\quad (\,-\theta,\,-\mathbf{u})
descrevem a mesma rotação. Portanto:
(1) \theta=120^\circ, \mathbf{u}=\tfrac1{\sqrt3}(1,-1,1).
(2) \theta=-120^\circ, \mathbf{u}=\tfrac1{\sqrt3}(-1,1,-1).

Resposta

\mathrm{Q}_z = \bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\,0,\,0,\,\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) \mathrm{Q}_x = \bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\,\tfrac{\sqrt2}{2},\,0,\,0\bigr) {}^{\mathrm{C}}Q_{\mathrm{A}} = \bigl(\tfrac12,\,\tfrac12,\,-\tfrac12,\,\tfrac12\bigr)
Ângulo–eixo equivalente:
(1) \theta=120^\circ,\;\mathbf{u}=\tfrac1{\sqrt3}(1,-1,1)
(2) \theta=-120^\circ,\;\mathbf{u}=\tfrac1{\sqrt3}(-1,1,-1)

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