( 2,0 pontos) Uma pessoa de 70 kg flutua com 98 \% de seu corpo submerso em um lago cuja água tem densidade \rho_{\text {lago }}=1,000 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.
a) Qual é a massa de água deslocada pela pessoa enquanto ela flutua no lago?
b) Qual é a densidade média da pessoa?
c) Qual fração do corpo da pessoa ficaria submersa na água do Mar Morto, \rho_{\mathrm{MM}}=1,240 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ?
Observação: demonstre o resultado utilizando a equação de equilibrio entre o empuxo e o peso da pessoa
\rho_{\text {média }}=\frac{m}{V} \quad F_{\text {empuxo }}=\rho_{\text {fluido }} V_{\text {fluido }} gé

Passo 1

O enunciado diz que uma pessoa de massa m=70\:\mathrm{kg} flutua com 98\% do seu volume submerso num lago de densidade \rho_{\text{lago}}=1{,}000\:\mathrm{g/cm^3}=1{,}000\:\mathrm{kg/m^3}. O conteúdo é o Princípio de Arquimedes, que estabelece o equilíbrio entre o peso da pessoa e o empuxo do fluido:
F_{\text{empuxo}}=\rho_{\text{fluido}}\,V_{\text{disp}}\,g,
F_{\text{peso}}=m\,g.
Também usaremos a definição de densidade média da pessoa
\rho_{\text{média}}=\frac{m}{V}.é

Passo 2

Escrevendo o equilíbrio de forças para a pessoa flutuando no lago:
m\,g \;=\;\rho_{\text{lago}}\,V_{\text{disp}}\,g.
Cancelando g, obtemos
m = \rho_{\text{lago}}\,V_{\text{disp}} \qquad\Longrightarrow\qquad V_{\text{disp}} = \frac{m}{\rho_{\text{lago}}}.

Passo 3

(a) A massa de água deslocada é
m_{\text{água}} =\rho_{\text{lago}}\,V_{\text{disp}} =\rho_{\text{lago}}\;\frac{m}{\rho_{\text{lago}}} =m.á
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m_{\text{água}}=70\:\mathrm{kg}.á

Passo 4

(b) Como 98\% do volume da pessoa está submerso,
V_{\text{disp}}=0{,}98\,V_{\text{pessoa}} \quad\Longrightarrow\quad V_{\text{pessoa}}=\frac{V_{\text{disp}}}{0{,}98}.
A densidade média da pessoa é
\rho_{\text{pessoa}} =\frac{m}{V_{\text{pessoa}}} =\frac{m}{V_{\text{disp}}/0{,}98} =0{,}98\,\frac{m}{V_{\text{disp}}} =0{,}98\,\rho_{\text{lago}} =0{,}98\times1000 =980\:\mathrm{kg/m^3}.

Passo 5

(c) No Mar Morto, com densidade \rho_{\mathrm{MM}}=1{,}240\:\mathrm{kg/m^3}, a fração f submersa satisfaz
m\,g=\rho_{\mathrm{MM}}\,(f\,V_{\text{pessoa}})\,g \quad\Longrightarrow\quad f=\frac{\rho_{\text{pessoa}}}{\rho_{\mathrm{MM}}} =\frac{980}{1240} \approx0{,}79.

Resposta

(a) 70\:\mathrm{kg}
(b) 980\:\mathrm{kg/m^3}
(c) Aproximadamente 79\% do corpo submerso.

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