(2 pontos) Retiradas sucessivas de uma carta de um baralho de 52 cartas são realizada com reposição. Quantas retiradas são necessárias para que a probabilidade de que pe menos uma carta de ouros seja retirada seja de no mínimo 0,9 ?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um baralho de 52 cartas e vamos fazer retiradas sucessivas, ou seja, a cada vez que tiramos uma carta, ela volta para o baralho (isso se chama reposição). Queremos descobrir quantas retiradas precisamos fazer para que a probabilidade de ter retirado pelo menos uma carta de ouros seja de, no mínimo, 0,9 (ou 90%). Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente sobre eventos independentes e probabilidade complementar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de não tirar uma carta de ouros em uma única retirada. Sabemos que em um baralho padrão há 13 cartas de ouros e 52 cartas no total. Então, a probabilidade de não tirar uma carta de ouros é:
P(não ouros) = 1 - P(ouros) = 1 - 1352 = 1 - 14 = 34 = 0,75 ã

Passo 3

Como as retiradas são com reposição e independentes umas das outras, a probabilidade de não tirar nenhuma carta de ouros em (0,75)^n <= 0,1 retiradas é . Queremos que a probabilidade de tirar pelo menos uma carta de ouros seja de pelo menos 0,9. Isso significa que a probabilidade de não tirar nenhuma carta de ouros deve ser de no máximo 0,1 (pois ).
Então, temos:

Passo 4

Para resolver essa inequação, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural nos dois lados:
ln(0,75)^n <= ln(0,1)
Usando a propriedade dos logaritmos ( n cdot ln(0,75) <= ln(0,1) ):
n >= ln(0,1)ln(0,75)
Agora, isolamos :

Passo 5

Calculando os valores numéricos dos logaritmos:
ln(0,1) approx -2,302585093
ln(0,75) approx -0,287682072
Então:
n >= -2,302585093-0,287682072 approx 8,0
Como deve ser um número inteiro, arredondamos para cima.

Resposta

São necessárias 9 retiradas para que a probabilidade de ter pelo menos uma carta de ouros seja de no mínimo 0,9.

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