(2 pontos) Retiradas sucessivas de uma carta de um baralho de 52 cartas são realizada com reposição. Quantas retiradas são necessárias para que a probabilidade de que pe menos uma carta de ouros seja retirada seja de no mínimo 0,9 ?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um baralho de 52 cartas e vamos fazer retiradas sucessivas, ou seja, a cada vez que tiramos uma carta, ela volta para o baralho (isso se chama reposição). Queremos descobrir quantas retiradas precisamos fazer para que a probabilidade de ter retirado pelo menos uma carta de ouros seja de, no mínimo, 0,9 (ou 90%). Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente sobre eventos independentes e probabilidade complementar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de não tirar uma carta de ouros em uma única retirada. Sabemos que em um baralho padrão há 13 cartas de ouros e 52 cartas no total. Então, a probabilidade de não tirar uma carta de ouros é:
Passo 3
Como as retiradas são com reposição e independentes umas das outras, a probabilidade de não tirar nenhuma carta de ouros em
retiradas é
. Queremos que a probabilidade de tirar pelo menos uma carta de ouros seja de pelo menos 0,9. Isso significa que a probabilidade de não tirar nenhuma carta de ouros deve ser de no máximo 0,1 (pois
).
Então, temos:
Passo 4
Para resolver essa inequação, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural nos dois lados:
Usando a propriedade dos logaritmos (
):
Agora, isolamos
:
Passo 5
Calculando os valores numéricos dos logaritmos:
Então:
Como
deve ser um número inteiro, arredondamos para cima.
Resposta
São necessárias 9 retiradas para que a probabilidade de ter pelo menos uma carta de ouros seja de no mínimo 0,9.