( 3.0 pontos) Os polinômios de Legendre
no intervalo ([-\pi, \pi]] por um polinômio de grau menor ou igual a 2 , segundo o método dos mínimos quadrados.
Passo 1
O enunciado pede a aproximação de grau
em
.
Para usar essa base, faremos a mudança de variável
Passo 2
Definimos
Queremos aproximar
em
por um polinômio de grau
na base
cuja norma é
. A melhor aproximação é
onde
(visto que
para
).
Passo 3
Cálculo de
:
Passo 4
Cálculo de
:
Passo 5
Cálculo de
:
Passo 6
Formamos
Voltando a
, com
, a aproximação desejada é