( 3.0 pontos) Os polinômios de Legendre p_{n}(t), n \geq 0\), são ortogonais em relação ao produto interno \(\langle u, v\rangle=\int_{-1}^{1} u(t) v(t) d t\) e satisfazem \(\left\langle\left\langle p_{n}, p_{n}\right\rangle=\frac{2}{2 n+1}\right.\). Dados \(p_{0}(t)=1\) e \(\left(p_{1}(t)=t\right.\), a família destes polinômios é obtida da relação de recorrencia \((n+1) p_{n+1}(t)=(2 n+1) p_{n}(t)-n p_{n-1}(t)\), \(n \geq 1\). Use estes polinômios para aproximar a função \[f(x)= \begin{cases}0 & \text { se } x<0 \\\ \frac{x}{\pi} & \text { se } x \geq 0\end{cases}
no intervalo ([-\pi, \pi]] por um polinômio de grau menor ou igual a 2 , segundo o método dos mínimos quadrados.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de grau <=2\) da função \[f(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\\ \dfrac{x}{\pi},&x\ge0 \end{cases}
em [-\,\pi,\pi]\] pelo método dos mínimos quadrados, usando polinômios de Legendre ortogonais em \([-1,1].
Para usar essa base, faremos a mudança de variável
t = \frac{x}{\pi},\quad x\in[-\pi,\pi]\;\longleftrightarrow\;t\in[-1,1].

Passo 2

Definimos
g(t) = f(\pi\,t) = \begin{cases} 0,&t<0,\\\ t,&t\ge0. \end{cases}
Queremos aproximar g(t) em [-1,1] por um polinômio de grau <=2 na base
p_0(t)=1,\quad p_1(t)=t,\quad p_2(t)=\tfrac12(3t^2-1),
cuja norma é \langle p_n,p_n\rangle=\tfrac{2}{2n+1}. A melhor aproximação é
s(t)=\sum_{k=0}^{2}c_k\,p_k(t), \quad c_k=\frac{\langle g,p_k\rangle}{\langle p_k,p_k\rangle},
onde
\langle g,p_k\rangle=\int_{-1}^{1}g(t)\,p_k(t)\,dt =\int_{0}^{1}t\,p_k(t)\,dt
(visto que g(t)=0 para t<0).

Passo 3

Cálculo de c_0:
\langle g,p_0\rangle =\int_{0}^{1}t\cdot1\,dt =\tfrac12, \qquad \langle p_0,p_0\rangle=2,
c_0=\frac{\tfrac12}{2}=\frac14.

Passo 4

Cálculo de c_1:
\langle g,p_1\rangle =\int_{0}^{1}t\cdot t\,dt =\int_{0}^{1}t^2\,dt =\tfrac13, \qquad \langle p_1,p_1\rangle=\frac{2}{3},
c_1=\frac{\tfrac13}{\tfrac{2}{3}}=\frac12.

Passo 5

Cálculo de c_2:
\langle g,p_2\rangle =\int_{0}^{1}t\;\frac{3t^2-1}{2}\,dt =\frac12\Bigl(3\int_{0}^{1}t^3\,dt-\int_{0}^{1}t\,dt\Bigr) =\frac12\Bigl(\tfrac{3}{4}-\tfrac12\Bigr) =\frac{1}{8},
\langle p_2,p_2\rangle=\frac{2}{5}, \qquad c_2=\frac{\tfrac18}{\tfrac{2}{5}}=\frac{5}{16}.

Passo 6

Formamos
s(t) =c_0\,p_0(t)+c_1\,p_1(t)+c_2\,p_2(t) =\frac14+\frac12\,t+\frac{5}{16}\,\frac{3t^2-1}{2} =\frac{15}{32}t^2+\frac12\,t+\frac{3}{32}.
Voltando a x, com t=x/\pi, a aproximação desejada é
q(x)=s\bigl(\tfrac{x}{\pi}\bigr) =\frac{15}{32}\Bigl(\frac{x}{\pi}\Bigr)^{2} +\frac12\Bigl(\frac{x}{\pi}\Bigr) +\frac{3}{32}.

Resposta

\boxed{q(x)=\frac{15}{32\pi^{2}}\,x^{2}+\frac{1}{2\pi}\,x+\frac{3}{32}.}

Exercícios relacionados