Q1. Analise as afirmações abaixo. E assinale a alternativa que representa a única * alternativa verdadeira.
(a) f_{y}(a, b)=\lim _{y \rightarrow b} \frac{f(a, y)-f(a, b)}{y-b}
(b) Existe uma função f com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, tais que f_{x}(x, y)=x+y^{2} e f_{y}(x, y)=x-y^{2}.
(c) f_{x y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}
(d) D_{\mathrm{k}} f(x, y, z)=f_{z}(x, y, z)
(a) é a única alternativa verdadeira.
(b) é a única alternativa verdadeira.
(c) é a única alternativa verdadeira.
(d) é a única alternativa verdadeira.

Passo 1

O enunciado pede para analisar quatro afirmações sobre derivadas parciais, notação de derivadas mistas e derivada direcional, e identificar qual delas é a única verdadeira. O conteúdo envolve:
  • Definição de derivada parcial;
  • Condição de existência de uma primitiva a partir de derivadas parciais (compatibilidade de derivadas mistas);
  • Notação de derivada mista f_{xy};
  • Derivada direcional D_{\mathbf k}f.

Passo 2

Verificamos a afirmação (a):
f_{y}(a, b) =\lim_{h\to0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}
é equivalente a
\lim_{y\to b}\frac{f(a,y)-f(a,b)}{y-b}.
Portanto (a) é verdadeira.

Passo 3

Verificamos a afirmação (b):
Se existisse f com derivadas parciais contínuas tais que
f_x(x,y)=x+y^2, \quad f_y(x,y)=x-y^2,
então as derivadas mistas seriam
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_x)=2y, \quad f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_y)=1,
e f_{xy}\neq f_{yx}, violando a igualdade das mistas. Logo (b) é falsa.

Passo 4

Verificamos a afirmação (c):
Por definição de notação,
f_{xy} \;=\; \frac{\partial}{\partial y}\!\biggl(\frac{\partial f}{\partial x}\biggr) \;=\; \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}.
Assim, (c) é verdadeira.

Passo 5

Verificamos a afirmação (d):
A derivada direcional de f na direção de um vetor unitário \mathbf k genérico vale
D_{\mathbf k}f=\nabla f\cdot\mathbf k,
e só coincide com f_z quando \mathbf k for exatamente o versor \mathbf e_z=(0,0,1). Como \mathbf k não foi especificado como \mathbf e_z, (d) é falsa.

Passo 6

Concluímos que as afirmações (a) e (c) são verdadeiras, enquanto (b) e (d) são falsas. Logo não existe “uma única” alternativa verdadeira – há duas.

Resposta

Não há alternativa única verdadeira; as afirmações (a) e (c) são corretas.

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