Q1. Analise as afirmações abaixo. E assinale a alternativa que representa a única * alternativa verdadeira.
(a)
(b) Existe uma função
com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, tais que
e
.
(c)
(d)
(a) é a única alternativa verdadeira.
(b) é a única alternativa verdadeira.
(c) é a única alternativa verdadeira.
(d) é a única alternativa verdadeira.
(a)
(b) Existe uma função
(c)
(d)
(a) é a única alternativa verdadeira.
(b) é a única alternativa verdadeira.
(c) é a única alternativa verdadeira.
(d) é a única alternativa verdadeira.
Passo 1
O enunciado pede para analisar quatro afirmações sobre derivadas parciais, notação de derivadas mistas e derivada direcional, e identificar qual delas é a única verdadeira. O conteúdo envolve:
- Definição de derivada parcial;
- Condição de existência de uma primitiva a partir de derivadas parciais (compatibilidade de derivadas mistas);
- Notação de derivada mista
; - Derivada direcional
.
Passo 2
Verificamos a afirmação (a):
é equivalente a
Portanto (a) é verdadeira.
Passo 3
Verificamos a afirmação (b):
Se existisse com derivadas parciais contínuas tais que
Se existisse
então as derivadas mistas seriam
e
, violando a igualdade das mistas. Logo (b) é falsa.
Passo 4
Verificamos a afirmação (c):
Por definição de notação,
Por definição de notação,
Assim, (c) é verdadeira.
Passo 5
Verificamos a afirmação (d):
A derivada direcional de na direção de um vetor unitário
genérico vale
A derivada direcional de
e só coincide com
quando
for exatamente o versor
. Como
não foi especificado como
, (d) é falsa.
Passo 6
Concluímos que as afirmações (a) e (c) são verdadeiras, enquanto (b) e (d) são falsas. Logo não existe “uma única” alternativa verdadeira – há duas.
Resposta
Não há alternativa única verdadeira; as afirmações (a) e (c) são corretas.