1. (a) Qual é a posição aproximada da energia de Fermi para um semicondutor intrínseco? (b) Qual a posição aproximada da energia de Fermi para um semicondutor do tipo n ? (c) Faça um desenho esquemático da energia de Fermi em função da temperatura para um semicondutor do tipo n até uma temperatura na qual ele se torna intrínseco.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a posição do nível de Fermi E_F em semicondutores intrínsecos e do tipo n, e pede também um esboço de como E_F varia com a temperatura em um semicondutor n até que ele se comporte como intrínseco. Para responder precisamos usar a teoria de portadores em semicondutores: posição de E_F para n=p (intrínseco) e para dopagem n\gg p, além da dependência de E_F(T) quando a geração intrínseca domina a dopagem.

Passo 2

Em um semicondutor intrínseco temos concentrações iguais de elétrons e lacunas ( n=p=n_i). Nesse caso o nível de Fermi fica aproximadamente no meio da banda proibida, no chamado nível intrínseco E_i, dado por
E_i \approx \frac{E_C + E_V}{2},
onde E_C e E_V são, respectivamente, as bordas das bandas de condução e de valência.

Passo 3

Em um semicondutor do tipo n a concentração de elétrons n vem principalmente dos doadores N_D, de modo que n\approx N_D\gg p. O nível de Fermi fica deslocado para mais perto da banda de condução e, em primeira aproximação,
E_F \approx E_C - kT\ln\!\biggl(\frac{N_C}{N_D}\biggr),
onde N_C é a densidade efetiva de estados na banda de condução. Em termos qualitativos dizemos que E_F está próximo de E_C.

Passo 4

Para traçar esquematicamente E_F em função da temperatura T em um semicondutor do tipo n, lembramos que:
  • A baixas temperaturas T domina a dopagem: E_F fica quase constante e próximo de E_C.
  • Ao crescer T, começa a gerar-se portadores intrínsecos que equilibram elétrons e lacunas.
  • Quando n_i ultrapassa N_D, o semicondutor torna-se intrínseco e E_F \to E_i \approx \frac{E_C + E_V}{2}.
Um esboço ASCII para E_F(T) seria:
Energia
  \(\vert\)    \(E_C\)
  \(\vert\)     \rule{10em}{0.4pt}
  \(\vert\)       \\
  \(\vert\)        \\    \(E_F\)(T)
  \(\vert\)         \\
  \(\vert\)          \\
  \(\vert\)           \cdots\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_  \leftarrow \text{em altas } T, \; E_F \approx E_i
  \(\vert\)           \cdots
  \(\vert\)    \(E_i\) \rule{3em}{0.4pt}\cdots
  \(\vert\)
  \(\vert\)    \(E_V\)
  \(\bot\)\rule{10em}{0.4pt} \text{Temperatura } \to
Nesse desenho, a curva de E_F sai perto de E_C em T baixo e cai gradualmente até o nível intrínseco E_i à medida que T aumenta.

Resposta

(a) Em um semicondutor intrínseco o nível de Fermi fica aproximadamente no meio da banda proibida:
E_F \approx E_i \approx \frac{E_C + E_V}{2}.
(b) Em um semicondutor tipo n o nível de Fermi posiciona-se próximo à borda da banda de condução, numa boa aproximação
E_F \approx E_C - kT\ln\!\bigl(N_C/N_D\bigr).
(c) Esquematicamente, E_F(T) para um semicondutor n é praticamente constante e próxima de E_C a baixas T, e desloca-se gradualmente para o nível intrínseco E_i\approx(E_C+E_V)/2 quando T aumenta o suficiente para tornar n_i\gg N_D.

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