Resolva:
\int \frac{x}{\left(1+4 x^{2}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{\bigl(1+4x^{2}\bigr)^{2}}\,dx.
Este é um problema de integração de função racional onde a técnica mais direta é a substituição de variáveis.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + 4x^{2},
de onde
du = 8x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{8}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{x}{\bigl(1+4x^{2}\bigr)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\;\frac{du}{8} = \frac{1}{8}\,\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Para integrar u^{-2}, usamos a regra \int u^{n}\,du = u^{n+1}/(n+1) quando n\neq -1. Aqui n=-2, logo
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1}.
Portanto
\frac{1}{8}\,\int u^{-2}\,du = \frac{1}{8}\,\bigl(-u^{-1}\bigr) + C = -\frac{1}{8u} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, lembrando que u = 1+4x^{2}, a antiderivada fica
-\frac{1}{8\bigl(1+4x^{2}\bigr)} + C.

Resposta

-\frac{1}{8\bigl(1+4x^{2}\bigr)} + C.

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