( 3,5 pontos) Um professor de estatística observou a quantidade de exercícios que seus alunos resolvem por dia em uma plataforma online. Ele definiu uma variável aleatória X, que representa o número de exercícios resolvidos em um dia por um aluno escolhido aleatoriamente, com os possíveis valores X=0,1,2,3. A função de probabilidade de X é dada por:
P(X=x)=k(x+1), \text { para } x=0,1,2,3 .
a) Determine o valor de k para que a função seja uma função de probabilidade válida.
b) Construa a tabela da função de probabilidade de X.
c) Determine a imagem R_{X}.
d) Calcule a função de distribuição acumulada F_{X}.
e) Calcule a média (esperença), variância e o desvio padrão da variável aleatória X.

Passo 1

O enunciado trata de uma variável aleatória discreta X que assume os valores 0,1,2,3 com
P(X=x)=k\,(x+1).
O que precisamos fazer é: (a) achar k normalizando a soma das probabilidades, (b) montar a tabela P(X=x), (c) identificar o suporte (imagem) R_X, (d) construir a função de distribuição acumulada F_X(x)=P(X\le x) e (e) calcular a esperança, a variância e o desvio padrão de X.

Passo 2

Para garantir que \sum_{x=0}^{3}P(X=x)=1, fazemos
\sum_{x=0}^{3}k\,(x+1) = k\bigl[(0+1)+(1+1)+(2+1)+(3+1)\bigr] = k\,(1+2+3+4) =10\,k
deve ser igual a 1. Logo
k=\frac{1}{10}.

Passo 3

Com k=\tfrac{1}{10}, calculamos cada probabilidade e montamos a tabela:
\begin{aligned} P(X=0)&=\tfrac{1}{10}\,(0+1)=\tfrac{1}{10},\\\ P(X=1)&=\tfrac{1}{10}\,(1+1)=\tfrac{2}{10},\\\ P(X=2)&=\tfrac{1}{10}\,(2+1)=\tfrac{3}{10},\\\ P(X=3)&=\tfrac{1}{10}\,(3+1)=\tfrac{4}{10}. \end{aligned}

Passo 4

O suporte (imagem) de X é simplesmente o conjunto dos valores que ela pode assumir:
R_X=\{\,0,1,2,3\}.

Passo 5

A função de distribuição acumulada é
F_X(x)=P(X\le x),
que, por ser discreta, fica em forma de “degraus”:
F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ \tfrac{1}{10}, & 0\le x<1,\\\ \tfrac{3}{10}, & 1\le x<2,\\\ \tfrac{6}{10}, & 2\le x<3,\\\\ 1, & x\ge3. \end{cases}

Passo 6

A esperança é
E[X] =\sum_{x=0}^{3}x\,P(X=x) =0\cdot\tfrac{1}{10}+1\cdot\tfrac{2}{10}+2\cdot\tfrac{3}{10}+3\cdot\tfrac{4}{10} =\frac{20}{10} =2.

Passo 7

Para a variância, primeiro precisamos de E[X^2]:
E[X^2] =\sum_{x=0}^{3}x^2\,P(X=x) =0^2\cdot\tfrac{1}{10}+1^2\cdot\tfrac{2}{10}+2^2\cdot\tfrac{3}{10}+3^2\cdot\tfrac{4}{10} =\frac{50}{10} =5.
Então
\mathrm{Var}(X) =E[X^2]-(E[X])^2 =5-2^2 =1,
e o desvio padrão é
\sigma_X =\sqrt{\mathrm{Var}(X)} =1.

Resposta

a) \;k=\tfrac{1}{10}.\) b) \[\begin{array}{c|c} x & P(X=x)\\hline 0 & \tfrac{1}{10}\\\\ 1 & \tfrac{2}{10}\\\\ 2 & \tfrac{3}{10}\\\\ 3 & \tfrac{4}{10} \end{array}
c) \;R_X=\{0,1,2,3\}.
d)
F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ \tfrac{1}{10}, & 0\le x<1,\\\ \tfrac{3}{10}, & 1\le x<2,\\\ \tfrac{6}{10}, & 2\le x<3,\\\\ 1, & x\ge3. \end{cases}
e) (;E[X]=2,\quad \mathrm{Var}(X)=1,\quad \sigma_X=1.]

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