( 3,0 pontos) Sejam A, B e C são três médicos de uma clínica. O médico C atende 30 \% dos pacientes, A atende 30 \% dos pacientes e 40 \% dos pacientes são atendidos por B. Além disso, 15 \% dos pacientes de A são da UNIMED, enquanto 10 \% dos pacientes de C e 20 \% dos pacientes de B são da UNIMED. Um paciente selecionado aleatoriamente é paciente do UNIMED. Qual a probabilidade de que ele seja paciente de B.

Passo 1

O enunciado define três médicos A, B e C com respectivas frações de pacientes
P(A)=0,3,\quad P(B)=0,4,\quad P\text{(C)}=0,3
e probabilidades condicionais de serem da UNIMED
P(U\mid A)=0,15,\quad P(U\mid B)=0,2,\quad P(U\mid C)=0,1.
Queremos a probabilidade de um paciente ser atendido por B sabendo que ele é da UNIMED, ou seja, P(B\mid U). Esse é um caso clássico de Teorema de Bayes.

Passo 2

Calculemos as probabilidades conjuntas P(U\cap X)=P(U\mid X)\,P(X) para cada médico X\in\{A,B,C\}:
P(U\cap A)=0,15\times0,3=0,045, \quad P(U\cap B)=0,2\times0,4=0,08, \quad P(U\cap C)=0,1\times0,3=0,03.

Passo 3

Pela lei da probabilidade total, a probabilidade de um paciente ser da UNIMED é
P(U)=P(U\cap A)+P(U\cap B)+P(U\cap C) =0,045+0,08+0,03=0,155.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Bayes, obtemos
P(B\mid U) =\frac{P(U\cap B)}{P(U)} =\frac{0,08}{0,155} =\frac{80}{155} =\frac{16}{31} \approx0,5161.

Resposta

\displaystyle P(B\mid U)=\frac{16}{31}\approx0,5161

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