( 3,5 pontos) O tempo (em horas) que um técnico leva para concluir o reparo de um computador é modelado por uma variável aleatória contínua X que segue uma distribuição exponencial. A função densidade de probabilidade é dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} 2 e^{-2 x}, \text { se } x \geq 0 \\\\ 0, \text { se } x<0 \end{array}\right.
a) Verifique se f é uma função densidade de probabilidade válida.
b) Determine a função distribuição acumulada F_{X}.
c) Calcule a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória X. Justifique as fórmulas utilizadas.
d) Qual é a probabilidade de que um reparo dure mais de 1 hora?
Passo 1
O enunciado diz que o tempo de reparo X\) segue uma distribuição exponencial com densidade
\[f(x)= \begin{cases} 2e^{-2x},&x\ge0,\\\\ 0,&x<0. \end{cases}
O conteúdo é distribuição exponencial: vamos (1) checar se f\] é pdf válida, (2) achar a função de distribuição acumulada \(F_X, (3) calcular média, variância e desvio padrão, e (4) obter \Pr(X>1).
Passo 2
Para ser pdf válida, f(x) deve satisfazer
f(x)\ge0 para todo x. Aqui 2e^{-2x}\ge0.
A integral sobre \mathbb{R} deve ser 1. Calculamos