( 3,5 pontos) O tempo (em horas) que um técnico leva para concluir o reparo de um computador é modelado por uma variável aleatória contínua X que segue uma distribuição exponencial. A função densidade de probabilidade é dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} 2 e^{-2 x}, \text { se } x \geq 0 \\\\ 0, \text { se } x<0 \end{array}\right.
a) Verifique se f é uma função densidade de probabilidade válida.
b) Determine a função distribuição acumulada F_{X}.
c) Calcule a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória X. Justifique as fórmulas utilizadas.
d) Qual é a probabilidade de que um reparo dure mais de 1 hora?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de reparo X\) segue uma distribuição exponencial com densidade \[f(x)= \begin{cases} 2e^{-2x},&x\ge0,\\\\ 0,&x<0. \end{cases}
O conteúdo é distribuição exponencial: vamos (1) checar se f\] é pdf válida, (2) achar a função de distribuição acumulada \(F_X, (3) calcular média, variância e desvio padrão, e (4) obter \Pr(X>1).

Passo 2

Para ser pdf válida, f(x) deve satisfazer
  1. f(x)\ge0 para todo x. Aqui 2e^{-2x}\ge0.
  2. A integral sobre \mathbb{R} deve ser 1. Calculamos
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{0}^{\infty}2e^{-2x}\,dx =\bigl[-e^{-2x}\bigr]_{0}^{\infty} =0-(-1)=1.
Logo f é uma pdf válida.

Passo 3

A função de distribuição acumulada é
F_X(x)=\Pr(X\le x) =\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt.
Para x<0, F_X(x)=0. Para x\ge0,
F_X(x) =\int_{0}^{x}2e^{-2t}\,dt =\bigl[-e^{-2t}\bigr]_{0}^{x} =1-e^{-2x}.

Passo 4

Para a exponencial de parâmetro \lambda=2 valem as fórmulas gerais
E[X]=\frac{1}{\lambda},\quad \operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2},\quad \sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}.
Substituindo \lambda=2,
E[X]=\tfrac{1}{2}=0,5,\quad \operatorname{Var}(X)=\tfrac{1}{4}=0,25,\quad \sigma_X=\sqrt{0,25}=0,5.
Se quiser derivar, use E[X^n]=n!/\lambda^n e \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2.

Passo 5

A probabilidade de durar mais de 1 hora é o complemento de F_X(1), ou diretamente
\Pr(X>1)=e^{-\lambda\cdot1}=e^{-2}.

Resposta

a) Sim, pois f(x)\ge0\) e \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1\). b) \[F_X(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\\\ 1-e^{-2x},&x\ge0. \end{cases}
c) E[X]=0,5\], \(\operatorname{Var}(X)=0,25, \sigma_X=0,5.
d) \Pr(X>1)=e^{-2}\approx0,1353.

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