Sejam X e Y independentes, ambas assumindo valores no intervalo (0,1). Suponha que X admite densidade f(x)=2 x e que Y admite densidade g(y)=4 y^{3}. Calcule P(X>Y).

Passo 1

O enunciado pede P(X>Y) para X e Y independentes em (0,1), com densidades
f(x)=2x,\quad 0<x<1,
g(y)=4y^3,\quad 0<y<1.
O conteúdo é cálculo de probabilidade via integração dupla ou uso da lei da probabilidade total condicional.

Passo 2

Usamos
P(X>Y)=\int_{0}^{1}P(X>y)\,g(y)\,dy.
Como P(X>y)=\displaystyle\int_{y}^{1}f(x)\,dx, temos
P(X>Y)=\int_{0}^{1}\Bigl(\int_{y}^{1}2x\,dx\Bigr)\,4y^3\,dy.
Calculemos primeiro a integral interna:
\int_{y}^{1}2x\,dx=\bigl[x^2\bigr]_{y}^{1}=1-y^2.

Passo 3

Substituindo na integral externa:
P(X>Y)=\int_{0}^{1}(1-y^2)\,4y^3\,dy =4\int_{0}^{1}\bigl(y^3-y^5\bigr)\,dy =4\Bigl[\tfrac{y^4}{4}-\tfrac{y^6}{6}\Bigr]_{0}^{1} =4\Bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{6}\Bigr) =4\cdot\tfrac{1}{12} =\tfrac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{3}

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