Seja X \sim \mathcal{N}\left(\frac{5}{4}, \frac{1}{9}\right). Determine:
P(X \leq 7.5)

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição normal de média \mu=\tfrac{5}{4} e variância \sigma^2=\tfrac{1}{9}. Precisamos calcular
P(X \le 7{,}5).
O que vamos usar é o método de padronização para passar à variável normal padrão Z\sim N(0,1).

Passo 2

Primeiro, identificamos o desvio-padrão de X:
\sigma = \sqrt{\tfrac{1}{9}} = \tfrac{1}{3}.

Passo 3

Agora padronizamos o ponto x=7{,}5. Definimos
Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \quad\Longrightarrow\quad P(X \le 7{,}5) = P\bigl(Z \le \tfrac{7{,}5 - \tfrac{5}{4}}{\tfrac{1}{3}}\bigr).

Passo 4

Calculamos o valor de z:
z = \frac{7{,}5 - 1{,}25}{\tfrac{1}{3}} = (7{,}5 - 1{,}25)\times 3 = 6{,}25 \times 3 = 18{,}75.

Passo 5

Portanto
P(X \le 7{,}5) = P(Z \le 18{,}75) = \Phi(18{,}75).
Como 18{,}75 está muitíssimo à direita na curva normal padrão, a função de distribuição acumulada \Phi nesse ponto é praticamente 1 (tabelas de normal costumam chegar até 3{,}9, onde \Phi(3{,}9)\approx0{,}99995; para z=18{,}75 a probabilidade difere de 1 por valor insignificante).

Resposta

P(X \le 7{,}5) \approx 1

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