Seja f(x, y)=(x-1)^2+(y-2)^2.
Esboce as curvas de nível de f para k=1,4,9,16.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos as curvas de nível da função f(x, y) = (x-1)^2 + (y-2)^2 para os valores de k = 1, 4, 9, 16 . Isso está relacionado ao Estudo de Funções de Duas Variáveis e, mais especificamente, às Curvas de Nível. Para resolver, vamos entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis f(x, y) , uma curva de nível para um valor específico k é o conjunto de todos os pontos (x, y) que satisfazem f(x, y) = k . No nosso caso, queremos encontrar as curvas onde (x-1)^2 + (y-2)^2 = k .

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação (x-1)^2 + (y-2)^2 = k . Essa é a equação geral de um círculo no plano cartesiano, onde:
  • O centro do círculo está em (h, k) . No nosso caso, h = 1 e k = 2 , então o centro é (1, 2) .
  • O raio r do círculo é a raiz quadrada do valor à direita da igualdade. Ou seja, r = raizk .

Passo 4

Vamos calcular o raio para cada valor de k :
  • Para k = 1 : r = raiz1 = 1
  • Para k = 4 : r = raiz4 = 2
  • Para k = 9 : r = raiz9 = 3
  • Para k = 16 : r = raiz16 = 4

Passo 5

Com esses raios, podemos desenhar os círculos:
  • Um círculo com centro em (1, 2) e raio 1.
  • Um círculo com centro em (1, 2) e raio 2.
  • Um círculo com centro em (1, 2) e raio 3.
  • Um círculo com centro em (1, 2) e raio 4.
Cada círculo representa uma curva de nível da função f(x, y) para os valores de k dados.

Resposta

As curvas de nível de f(x, y) = (x-1)^2 + (y-2)^2 para k = 1, 4, 9, 16 são círculos centrados em (1, 2) com raios 1, 2, 3 e 4, respectivamente.

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