Seja f(x, y)=(x-1)^2+(y-2)^2.
Qual é o valor mínimo da função? Em que ponto(s) esse mínimo ocorre?;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(x, y) = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor mínimo dessa função e descobrir em que ponto esse mínimo acontece. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e entender como encontrar mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função f(x, y) = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 . Essa é uma função quadrática em duas variáveis, que basicamente representa a soma dos quadrados das diferenças entre x e 1, e entre y e 2. Geometricamente, isso corresponde à distância ao quadrado entre o ponto (x, y) e o ponto fixo (1, 2) .

Passo 3

Para encontrar o valor mínimo, vamos pensar: o que faz com que a soma dos quadrados seja a menor possível? Claro, quando cada quadradinho for o menor que puder, ou seja, zero! Então, queremos que (x - 1)^2 e (y - 2)^2 sejam iguais a zero.

Passo 4

Então, resolvemos cada parte:
(x - 1)^2 = 0 Rightarrow x - 1 = 0 Rightarrow x = 1
(y - 2)^2 = 0 Rightarrow y - 2 = 0 Rightarrow y = 2

Passo 5

Assim, o ponto que minimiza a função f(x, y) é (1, 2) . Agora, vamos calcular o valor mínimo da função substituindo x = 1 e y = 2 na expressão original:
f(1, 2) = (1 - 1)^2 + (2 - 2)^2 = 0 + 0 = 0

Resposta

O valor mínimo da função é 0 e ocorre no ponto (1,, 2) .

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