Seja
.
Qual é o valor mínimo da função? Em que ponto(s) esse mínimo ocorre?;
Qual é o valor mínimo da função? Em que ponto(s) esse mínimo ocorre?;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor mínimo dessa função e descobrir em que ponto esse mínimo acontece. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e entender como encontrar mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Essa é uma função quadrática em duas variáveis, que basicamente representa a soma dos quadrados das diferenças entre
e 1, e entre
e 2. Geometricamente, isso corresponde à distância ao quadrado entre o ponto
e o ponto fixo
.
Passo 3
Para encontrar o valor mínimo, vamos pensar: o que faz com que a soma dos quadrados seja a menor possível? Claro, quando cada quadradinho for o menor que puder, ou seja, zero! Então, queremos que
e
sejam iguais a zero.
Passo 4
Então, resolvemos cada parte:
Passo 5
Assim, o ponto que minimiza a função
é
. Agora, vamos calcular o valor mínimo da função substituindo
e
na expressão original:
Resposta
O valor mínimo da função é
e ocorre no ponto
.