(2,5 Pontos) Questão 4: Considere v=(2,1, m), u=(m+2,-5,2) e w=(2 m, 8, m). Determine o valor de m para que o vetor v+u seja ortogonal a w-v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\displaystyle v=(2,1,m), \displaystyle u=(m+2,-5,2) e \displaystyle w=(2m,8,m)
e pede o valor de m tal que v+u seja ortogonal a w-v. O conteúdo aqui é produto escalar e condição de ortogonalidade ( a\perp b se e só se a\cdot b=0).

Passo 2

Vamos primeiro calcular
v+u=(2,1,m)+(m+2,-5,2)=(2+m+2,\;1-5,\;m+2)=(m+4,\;-4,\;m+2).

Passo 3

Agora calculamos
w-v=(2m,8,m)-(2,1,m)=(2m-2,\;8-1,\;m-m)=(2m-2,\;7,\;0).

Passo 4

A ortogonalidade exige
(v+u)\cdot(w-v)=0,
isto é,
(m+4)(2m-2)+(-4)\cdot7+(m+2)\cdot0=0.

Passo 5

Expandindo e simplificando:
(m+4)(2m-2)=2m^2+6m-8, \quad (-4)\cdot7=-28,
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2m^2+6m-8-28=0 \;\Longrightarrow\; 2m^2+6m-36=0 \;\Longrightarrow\; m^2+3m-18=0.

Passo 6

Para resolver m^2+3m-18=0, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
m=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-18)}}{2} =\frac{-3\pm\sqrt{9+72}}{2} =\frac{-3\pm9}{2},
portanto
m=3 \quad\text{ou}\quad m=-6.

Resposta

m=3 ou m=-6

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