(2 pontos) Verifique se a EDO é exata e em caso afirmativo, encontre a solução geral.
(y \sin x+x y \cos x) d x+(x \sin x+1) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(y \sin x + x y \cos x)\,dx + (x \sin x + 1)\,dy = 0.
O conteúdo é equações diferenciais exatas. Vamos verificar se ela é exata e, em caso positivo, encontrar a função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y),\quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y).

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=y\sin x + x y\cos x, \qquad N(x,y)=x\sin x + 1.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =\sin x + x\cos x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =\sin x + x\cos x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar \psi(x,y), integramos M em relação a x:
\psi(x,y) =\int\bigl(y\sin x + x y\cos x\bigr)\,dx =y\int\sin x\,dx + y\int x\cos x\,dx.
Temos
\int\sin x\,dx=-\cos x, \qquad \int x\cos x\,dx =x\sin x - \int\sin x\,dx =x\sin x + \cos x.
Logo
\psi(x,y) =y\bigl(-\cos x + x\sin x + \cos x\bigr) + h(y) =y\,x\sin x + h(y).

Passo 4

Calculamos \partial \psi/\partial y e igualamos a N:
\frac{\partial \psi}{\partial y} =x\sin x + h'(y) \stackrel{!}{=} x\sin x + 1 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=1 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=y.
Portanto
\psi(x,y)=x y\sin x + y.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x y\sin x + y = C,
ou equivalentemente
y\bigl(x\sin x + 1\bigr)=C,
onde C é constante arbitrária.

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