Questão 1 - Valor 2,0 pontos
Calcule a integral de linha integralC 2 x d s, onde C é o arco da parábola y=x^22, de (0,0) a (2,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC2x,ds
ao longo do arco da parábola y=tfracx^22 de (0,0) a (2,2).
Para isso, vamos parametrizar a curva por x e usar a fórmula
ds = raiz1+l(y'(x)r)^2,dx

Passo 2

Parametrização: seja
r(x) = l(x,;y(x)r) com y(x)=x^22, xin[0,2]

Passo 3

Calculamos a derivada
y'(x)=ddxl(tfracx^22r)=x,
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ds = raiz1+l(y'(x)r)^2,dx =raiz1+x^2,dx

Passo 4

Substituindo em integralC2x,ds, obtemos
integral0^22xraiz1+x^2,dx

Passo 5

Fazemos a substituição u=1+x^2, então du=2x,dx e os limites vão de u(0)=1 a u(2)=5. A integral vira
integral1^5u^tfrac12,du

Passo 6

Calculamos o antiderivado:
integral u^tfrac12,du =23u^tfrac32 Rightarrow 23u^tfrac32|1^5 =23l(5^tfrac32-1^tfrac32r) =23l(5raiz5-1r)

Resposta

23l(5raiz5-1r)

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