(2,0 pontos) Resolva a equação de Bernoulli:
\frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y=x^{2} y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli
\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}\,y = x^2\,y^3.
Aqui o conteúdo é ODE de Bernoulli, que tem a forma
\frac{dy}{dx} + p(x)\,y = q(x)\,y^n.
Para resolver, vamos usar a substituição que transforma essa equação numa linear em nova variável.

Passo 2

Identificamos em
\frac{dy}{dx} + \underbrace{\frac{2}{x}}_{p(x)}\,y = \underbrace{x^2}_{q(x)}\,y^{3}
o expoente n=3. A substituição é
u = y^{1-n} = y^{-2}.
Calculamos então
\frac{du}{dx} = (1-n)\,y^{-n}\,\frac{dy}{dx} = -2\,y^{-3}\,\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Agora expressamos \frac{dy}{dx} pela equação original e substituímos em \frac{du}{dx}:
\frac{dy}{dx} = x^2\,y^3 - \frac{2}{x}\,y \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = -2\,y^{-3}\Bigl(x^2\,y^3 - \frac{2}{x}\,y\Bigr) = -2\,x^2 + \frac{4}{x}\,y^{-2}.
Como y^{-2}=u, isso dá a ODE linear
\frac{du}{dx} - \frac{4}{x}\,u = -2\,x^2.

Passo 4

Para resolver
\frac{du}{dx} - \frac{4}{x}\,u = -2\,x^2
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int -\frac{4}{x}\,dx\Bigr) = x^{-4}.
Multiplicando em ambos os lados:
x^{-4}\,\frac{du}{dx} - 4\,x^{-5}\,u = -2\,x^{-2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^{-4}u\bigr) = -2\,x^{-2}.
Integrando,
x^{-4}u = \int -2\,x^{-2}\,dx = 2\,x^{-1} + C \quad\Longrightarrow\quad u = 2\,x^3 + C\,x^4.

Passo 5

Voltando à variável y, temos
y^{-2} = u = 2\,x^3 + C\,x^4 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = \frac{1}{2\,x^3 + C\,x^4} \quad\Longrightarrow\quad y = \pm\frac{1}{\sqrt{2\,x^3 + C\,x^4}}.

Resposta

y(x) = \pm \bigl(2\,x^3 + C\,x^4\bigr)^{-\tfrac12},
onde C é a constante de integração.

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