(2,0 pontos) Resolva o PVI abaixo,
y^{\prime \prime}+4 y=2 \operatorname{sen} t, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 .

Passo 1

O problema é o valor inicial
y'' + 4y = 2\operatorname{sen} t,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0.
Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos usar o princípio da superposição: a solução geral é
y(t)=y_h(t)+y_p(t),
onde y_h é a solução da homogênea e y_p é uma particular obtida por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
y''+4y=0
temos a equação característica r^2+4=0, cujas raízes são r=\pm2i. Logo
y_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t).

Passo 3

Para obter uma solução particular, fazemos o palpite
y_p(t)=A\sin t + B\cos t.
Calculamos
y_p'(t)=A\cos t - B\sin t,\qquad y_p''(t)=-A\sin t - B\cos t,
e então
y_p''+4y_p = (-A\sin t - B\cos t)+4(A\sin t+B\cos t) =3A\sin t + 3B\cos t.
Isso deve ser igual a 2\operatorname{sen} t, ou seja,
3A\sin t + 3B\cos t = 2\sin t + 0\cos t.

Passo 4

Igualando coeficientes em \sin t e \cos t, obtemos
3A=2\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{2}{3}, \qquad 3B=0\quad\Rightarrow\quad B=0.
Portanto
y_p(t)=\tfrac{2}{3}\sin t.

Passo 5

A solução geral do PVI é
y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)+\tfrac{2}{3}\sin t.
Usando y(0)=0
y(0)=C_1\cdot1 + C_2\cdot0 + 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1=0.
Em seguida, calculamos
y'(t) = -2C_1\sin(2t)+2C_2\cos(2t)+\tfrac{2}{3}\cos t =2C_2\cos(2t)+\tfrac{2}{3}\cos t,
e y'(0)=0
y'(0)=2C_2\cdot1 + \tfrac{2}{3}\cdot1 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2C_2 = -\tfrac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad C_2 = -\tfrac{1}{3}.

Resposta

\boxed{y(t) = -\tfrac{1}{3}\,\sin(2t) + \tfrac{2}{3}\,\sin t.}

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