Utilize um teste de convergência adequado para determinar se a série converge ou diverge. \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{n}
converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries geométricas, e vamos usar o critério de convergência de séries geométricas, que diz que a série converge se o valor absoluto da razão r for menor que 1.
Passo 2
Reconhecemos que a série dada é uma série geométrica de primeiro termo
a = \Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{0} = 1
e razão
r = \frac{1}{3}.
Para séries geométricas, o critério de convergência é:
se \lvert r\rvert < 1, a série converge; se \lvert r\rvert \ge 1, diverge.