Utilize um teste de convergência adequado para determinar se a série converge ou diverge.
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{n}
converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries geométricas, e vamos usar o critério de convergência de séries geométricas, que diz que a série converge se o valor absoluto da razão r for menor que 1.

Passo 2

Reconhecemos que a série dada é uma série geométrica de primeiro termo
a = \Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{0} = 1
e razão
r = \frac{1}{3}.
Para séries geométricas, o critério de convergência é:
se \lvert r\rvert < 1, a série converge; se \lvert r\rvert \ge 1, diverge.

Passo 3

Calculamos
\lvert r\rvert = \Bigl\lvert \frac{1}{3}\Bigr\rvert = \frac{1}{3} < 1.
Como \lvert r\rvert<1, concluímos que a série converge.

Passo 4

Se quisermos, podemos ainda determinar a soma da série usando a fórmula da soma de uma série geométrica convergente:
S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \tfrac{1}{3}} = \frac{1}{\tfrac{2}{3}} = \frac{3}{2}.

Resposta

A série converge (e sua soma é \tfrac{3}{2}).

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