( 1,6 pontos) Resolva o sistema linear dado através do escalonamento da matriz aumentada. Se o sistema tiver mais de uma solução, então descreva o seu conjunto solução na forma vetorial paramétrica e interprete geometricamente o conjunto solução.
lx-3 z=8 2 x+2 y+9 z=7 y+5 z=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de escalonamento da matriz aumentada. A matéria aqui é sobre sistemas lineares e escalonamento de matrizes. Para isso, vamos precisar montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações básicas de linhas para chegar em uma forma que facilite encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada é uma maneira de organizar as equações do sistema em uma única tabela, facilitando o processo de escalonamento. Para o nosso sistema:
l x - 3z = 8 2x + 2y + 9z = 7 y + 5z = -2
A matriz aumentada fica assim:
1 & 0 & -3 & | & 8 2 & 2 & 9 & | & 7 0 & 1 & 5 & | & -2

Passo 3

Agora, vamos começar a escalar a matriz para chegar em uma forma triangular superior. O objetivo aqui é zerar os elementos abaixo do pivô (que, aqui, é o primeiro elemento da primeira linha, que é 1).
Primeiro, vamos zerar o elemento na posição (2,1), que é 2. Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 2 times Linha 1
1 & 0 & -3 & | & 8 0 & 2 & 15 & | & -9 0 & 1 & 5 & | & -2

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento na posição (3,1), que já é 0, então não precisamos fazer nada aqui.
Em seguida, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento abaixo do pivô (que agora é o 2 na posição (2,2)) seja zero. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 0.5 e subtraímos da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 0.5 times Linha 2
1 & 0 & -3 & | & 8 0 & 2 & 15 & | & -9 0 & 0 & -2.5 & | & 2.5

Passo 5

Agora, temos uma matriz em forma escalonada triangular superior. Vamos resolver de baixo para cima.
Primeiro, da terceira linha:
-2.5z = 2.5 implies z = -1
Agora, substituímos z = -1 na segunda linha:
2y + 15(-1) = -9 implies 2y - 15 = -9 implies 2y = 6 implies y = 3
Finalmente, substituímos z = -1 na primeira linha:
x - 3(-1) = 8 implies x + 3 = 8 implies x = 5

Resposta

A solução do sistema é x = 5 , y = 3 e z = -1 .

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