Usando fórmula do cosseno de uma soma e os limites fundamentais, verifique que
(cos x)^prime=-sin x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de cos x usando a definição de derivada por limite, a fórmula do cosseno de soma e os limites fundamentais
limhto0sin hh=1 e limhto0cos h-1h=0

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada de cos x:
(cos x)' = limhto0cos(x+h)-cos xh

Passo 3

Aplicamos a fórmula do cosseno de soma em cos(x+h):
cos(x+h) = cos x,cos h - sin x,sin h
Logo,
cos(x+h)-cos x = cos x,(cos h-1) - sin x,sin h

Passo 4

Substituindo na definição e separando termos:
(cos x)' = limhto0cos x,(cos h-1) - sin x,sin hh = cos x limhto0cos h-1h - sin x limhto0sin hh

Passo 5

Usamos os limites fundamentais:
limhto0cos h-1h=0, limhto0sin hh=1
Isso dá
(cos x)' = cos xcdot 0 - sin xcdot 1 = -sin x

Resposta

(cos x)' = -sin x

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