Resolver as seguintes equaçōes
(3 pontos) y d x+\left(2 x-y e^{y}\right) d y=0$.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y,dx + l(2x - y e^yr),dy = 0
Aqui reconhecemos uma forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. O conteúdo que vamos usar é o de equações exatas e fator integrante.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y e N(x,y) = 2x - y e^y
Para checar se é exata, calculamos
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 2
Como 1 neq 2, não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu que dependa só de y. Usamos a fórmula
partial N/partial x - partial M/partial yM = 2 - 1y = 1y,
que de fato depende apenas de y. Logo
mu(y) = exp!l(integral 1y,dyr) = exp(ln|y|) = y

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(y)=y, obtendo a forma exata
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy = 0,
onde
M^*(x,y) = ycdot y = y^2, N^*(x,y) = yl(2x - y e^yr) = 2xy - y^2 e^y
De fato,
partial M^*/partial y = 2y e partial N^*/partial x = 2y.

Passo 5

Como agora é exata, existe Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M^* = y^2
Integramos em relação a x:
Psi(x,y) = integral y^2,dx = x,y^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 6

Derivamos Psi em relação a y e igualamos a N^*:
partial Psipartial y = 2x,y + h'(y) overset!= 2xy - y^2 e^y
Assim
h'(y) = -,y^2 e^y
Para achar h(y), usamos integração por partes ou fórmula conhecida:
integral y^2 e^y,dy = e^yl(y^2 - 2y + 2r) + C
Logo
h(y) = -,e^yl(y^2 - 2y + 2r)

Passo 7

A função potencial fica
Psi(x,y) = x,y^2 ;-; e^yl(y^2 - 2y + 2r)
A solução geral implícita da equação é
Psi(x,y) = C,
ou seja

Resposta

x,y^2 ;-; e^yl(y^2 - 2y + 2r) = C

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