Resolver as seguintes equaçōes
y d x+\left(2 x-y e^{y}\right) d y=0$.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Aqui reconhecemos uma forma diferencial
. O conteúdo que vamos usar é o de equações exatas e fator integrante.
Passo 2
Identificamos
Para checar se é exata, calculamos
Como
, não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. Usamos a fórmula
que de fato depende apenas de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo a forma exata
onde
De fato,
e
.
Passo 5
Como agora é exata, existe
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 6
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Assim
Para achar
, usamos integração por partes ou fórmula conhecida:
Logo
Passo 7
A função potencial fica
A solução geral implícita da equação é
ou seja