(
pontos) Responda:
a. Com 10 pessoas desejamos formar dois grupos: uma diretoria de 4 membros (Presidente, Vice-Presidente, Tesoureiro e Secretário) e um conselho com 6 pessoas. De quantas maneiras isto pode ser feito se as pessoas
e
não participam do mesmo grupo?
b. De quantas maneiras podemos acomodar 10 pessoas numa mesa redonda sendo que as pessoas
e
sentam juntos mas
e
nã̃o podem ser vizinhos na mesa?
a. Com 10 pessoas desejamos formar dois grupos: uma diretoria de 4 membros (Presidente, Vice-Presidente, Tesoureiro e Secretário) e um conselho com 6 pessoas. De quantas maneiras isto pode ser feito se as pessoas
b. De quantas maneiras podemos acomodar 10 pessoas numa mesa redonda sendo que as pessoas
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
a) Formar uma diretoria de 4 membros com cargos distintos (Presidente, Vice-Presidente, Tesoureiro e Secretário) e um conselho de 6 pessoas a partir de 10 pessoas, sob a restrição de que e
não podem ficar no mesmo grupo. Aqui vamos usar noções de combinação, permutação e princípio da contagem “total menos casos proibidos”.
b) Dispor 10 pessoas em volta de uma mesa circular de modo que e
fiquem sentados juntos e
e
não fiquem vizinhos. Para isso usaremos permutação circular, o método do bloco e o princípio da inclusão-exclusão.
a) Formar uma diretoria de 4 membros com cargos distintos (Presidente, Vice-Presidente, Tesoureiro e Secretário) e um conselho de 6 pessoas a partir de 10 pessoas, sob a restrição de que
b) Dispor 10 pessoas em volta de uma mesa circular de modo que
Passo 2
Para (a), primeiro contamos todas as formações sem restrição. Escolhemos 4 pessoas de 10 para a diretoria e as colocamos nos 4 cargos:
As 6 restantes vão automaticamente para o conselho.
Passo 3
Agora calculamos os casos proibidos em que
e
ficam juntos:
- Ambos na diretoria: escolhendo mais 2 de 8 para completar a diretoria e atribuindo cargos, temos
- Ambos no conselho: escolhemos 4 da outras 8 pessoas para a diretoria e atribuímos cargos, dando
Somando esses casos e subtraindo do total, obtemos
Passo 4
Para (b), contamos primeiro todas as disposições em que
e
estão juntos. Tratamos
como um bloco, ficando 9 “entidades” em torno da mesa circular, o que dá
maneiras (o fator 2 é a troca interna entre
e
).
Passo 5
Dessas, subtraímos as que têm também
e
juntos. Agora temos dois blocos
e
mais 6 pessoas soltas, total de 8 entidades, dando
Logo as configurações válidas são
Resposta
a)
b)
b)