( 1 , 5 pontos) Responda:
a. Com 10 pessoas desejamos formar dois grupos: uma diretoria de 4 membros (Presidente, Vice-Presidente, Tesoureiro e Secretário) e um conselho com 6 pessoas. De quantas maneiras isto pode ser feito se as pessoas A e B não participam do mesmo grupo?
b. De quantas maneiras podemos acomodar 10 pessoas numa mesa redonda sendo que as pessoas A e B sentam juntos mas C e D nã̃o podem ser vizinhos na mesa?

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
a) Formar uma diretoria de 4 membros com cargos distintos (Presidente, Vice-Presidente, Tesoureiro e Secretário) e um conselho de 6 pessoas a partir de 10 pessoas, sob a restrição de que A e B não podem ficar no mesmo grupo. Aqui vamos usar noções de combinação, permutação e princípio da contagem “total menos casos proibidos”.
b) Dispor 10 pessoas em volta de uma mesa circular de modo que A e B fiquem sentados juntos e C e D não fiquem vizinhos. Para isso usaremos permutação circular, o método do bloco e o princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Para (a), primeiro contamos todas as formações sem restrição. Escolhemos 4 pessoas de 10 para a diretoria e as colocamos nos 4 cargos:
binom104times4!
As 6 restantes vão automaticamente para o conselho.

Passo 3

Agora calculamos os casos proibidos em que A e B ficam juntos:
  1. Ambos na diretoria: escolhendo mais 2 de 8 para completar a diretoria e atribuindo cargos, temos
binom82times4!
  1. Ambos no conselho: escolhemos 4 da outras 8 pessoas para a diretoria e atribuímos cargos, dando
binom84times4!
Somando esses casos e subtraindo do total, obtemos
binom1044! ;-;l[binom824!+binom844!r] =210cdot24-(28cdot24+70cdot24)=2688

Passo 4

Para (b), contamos primeiro todas as disposições em que A e B estão juntos. Tratamos A,B como um bloco, ficando 9 “entidades” em torno da mesa circular, o que dá
(9-1)!times2=8!times2
maneiras (o fator 2 é a troca interna entre A e B).

Passo 5

Dessas, subtraímos as que têm também C e D juntos. Agora temos dois blocos A,B e C,D mais 6 pessoas soltas, total de 8 entidades, dando
(8-1)!times2times2=7!times4
Logo as configurações válidas são
8!cdot2;-;7!cdot4 =40320cdot2-5040cdot4=60480

Resposta

a) 2688
b) 60480

Exercícios relacionados