Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares.
T(x, y, z)=\left(\begin{array}{cc}x+z & 3 y \\\\ 4 x & -z\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
T\colon \mathbb{R}^3 \to M_{2\times2}(\mathbb{R}),\quad T(x,y,z)=\begin{pmatrix}x+z & 3y\\\ 4x & -z\end{pmatrix},
e pede para verificar se T é linear. Para isso, vamos conferir duas propriedades:
1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
2. Homogeneidade: T(c\,u)=c\,T(u).

Passo 2

Verificação da aditividade. Dados u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2), temos
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2),
então
T(u+v) =\begin{pmatrix}(x_1+x_2)+(z_1+z_2) & 3(y_1+y_2)\\[6pt]4(x_1+x_2)&-(z_1+z_2)\end{pmatrix}.
Por outro lado,
T(u)+T(v) =\begin{pmatrix}x_1+z_1 & 3y_1\\\ 4x_1 & -z_1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}x_2+z_2 & 3y_2\\\ 4x_2 & -z_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(x_1+x_2)+(z_1+z_2) & 3(y_1+y_2)\\\ 4(x_1+x_2)&-(z_1+z_2)\end{pmatrix}.
Portanto T(u+v)=T(u)+T(v).]

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Para escalares c\in\mathbb{R} e u=(x,y,z),
T(c\,u)=T(c x,\,c y,\,c z) =\begin{pmatrix}(c x)+(c z) & 3(c y)\\\ 4(c x)&-(c z)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}c(x+z)&c\,(3y)\c\,(4x)&c(-z)\end{pmatrix} =c\begin{pmatrix}x+z&3y\\\ 4x&-z\end{pmatrix} =c\,T(x,y,z).
Assim, T(c\,u)=c\,T(u).

Resposta

T satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é uma transformação linear.

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