Seja T um operador linear sobre espaço vetorial V real, de dimensão finita. Verifique se T é diagonalizável e justifique suas respostas (em, no máximo, 2 linhas) dada as seguintes condições sobre T :
T é nilpotente e T^{2059}+T=0.

Passo 1

Queremos decidir se T é diagonalizável em V sobre \mathbb{R}. Lembrando que T é diagonalizável se, e só se, o polinômio minimal m_T(x) se decompõe em fatores lineares distintos em \mathbb{R}[x].

Passo 2

Se T é nilpotente então m_T(x)=x^k para algum k\ge1. Se k>1 a raiz 0 é múltipla em m_T, logo T não é diagonalizável; só o é se k=1, ou seja T=0.

Passo 3

Se T^{2059}+T=0 então
T\bigl(T^{2058}+I\bigr)=0,
logo m_T(x) divide x(x^{2058}+1). Em \mathbb{R}[x] temos \gcd\bigl(x,x^{2058}+1\bigr)=1 e x^{2058}+1 não se fatora em lineares reais, então para ter só fatores lineares em m_T precisamos m_T(x)=x, ou seja T=0.

Resposta

nilpotente: só diagonalizável se T=0.
T^{2059}+T=0: só diagonalizável se T=0.

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