Seja
um operador linear sobre espaço vetorial
real, de dimensão finita. Verifique se
é diagonalizável e justifique suas respostas (em, no máximo, 2 linhas) dada as seguintes condições sobre
:
é nilpotente e
.
Passo 1
Queremos decidir se
é diagonalizável em
sobre
. Lembrando que
é diagonalizável se, e só se, o polinômio minimal
se decompõe em fatores lineares distintos em
.
Passo 2
Se
é nilpotente então
para algum
. Se
a raiz
é múltipla em
, logo
não é diagonalizável; só o é se
, ou seja
.
Passo 3
Se
então
logo
divide
. Em
temos
e
não se fatora em lineares reais, então para ter só fatores lineares em
precisamos
, ou seja
.
Resposta
nilpotente: só diagonalizável se
.
: só diagonalizável se
.