Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um paralelogramo. O ponto A é dado em coordenadas por A=(4,2,-2) e a diagonal AC define o vetor AC=(0,-6,4). A diagonal DB define o vetor DB=(1,4,-4).
Determine as coordenadas do vértice B.
Resposta: B=( square , square , square )

Passo 1

O enunciado nos dá os vértices consecutivos A, B, C e D de um paralelogramo no espaço com
A = (4,2,-2), AC = (0,-6,4), DB = (1,4,-4)
O conteúdo é geometria vetorial e a chave é usar o fato de que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio.

Passo 2

Seja M o ponto médio da diagonal AC. Então
M = A + AC2
Como as diagonais se cortam ao meio, M é também o ponto médio da diagonal DB, logo
M = D + DB2

Passo 3

Igualando as duas expressões de M e isolando B, lembrando que B = D + DB, obtemos
A + AC2 ;=; D + DB2 Longrightarrow D = A + AC2 - DB2,
B = D + DB = A + AC2 - DB2 + DB = A + AC + DB2

Passo 4

Calculando numericamente:
AC + DB = (0,-6,4) + (1,4,-4) = (1,-2,0),
AC + DB2 = l(tfrac12,-1,0r),
B = A + l(tfrac12,-1,0r) = (4,2,-2) + l(tfrac12,-1,0r) = l(tfrac92,1,-2r)

Resposta

B = l(tfrac92,,1,,-2r)

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